Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut 257
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut
(Nach einer Idee von Götz Kersting.) Sei E ein polnischer Raum und X1,X2,...
eine austauschbare Folge von Zufallsvariablen mit Werten in E. Wir wollen hier,
alternativ zu dem Rückwärtsmartingalargument aus Kapitel 12.3, einen Beweis für
den Satz von de Finetti (Satz 12.26) angeben, der besagt, dass es ein zufälliges W-
Maß Ξ auf E gibt, sodass, gegeben Ξ, die Zufallsvariablen X1,X2,...unabhängig
und Ξ-verteilt sind. Für x =(x1,x2,...) ∈ EN seien ξn(x) := 1 �n δxl n l=1 die
empirische Verteilung von x1,...,xn,
μn,k(x) :=ξn(x) ⊗k = n −k
n�
i1,...,ik=1
δ (xi1 ,...,xi k )
die Verteilung auf E k des k-fachen unabhängigen Ziehens (mit Beachtung der Reihenfolge)
aus (x1,...,xn) mit Zurücklegen und
νn,k(x) :=
(n − k)!
n!
n�
i 1 ,...,i k =1
#{i 1 ,...,i k }=k
δ (xi1 ,...,xi k )
die Verteilung auf E k des k-fachen unabhängigen Ziehens (mit Beachtung der Reihenfolge)
aus (x1,...,xn) ohne Zurücklegen. Für jedes x ∈ E N gilt
�
� μn,k(x) − νn,k(x) � � TV ≤ Rn,k :=
k(k − 1)
.
n
In der Tat ist die Wahrscheinlichkeit pn,k, beim k-maligen Ziehen (mit Zurücklegen)
aus n unterscheidbaren Kugeln keine zwei gleichen Kugeln zu ziehen,
k−1
pn,k =
�
(1 − l/n)
l=1
und Rn,k ≥ 2(1 − pn,k). Wir erhalten also die, intuitiv klare, Aussage, dass sich
für n →∞die Verteilungen des k-maligen Ziehens mit und ohne Zurücklegen
annähern
lim
n→∞ sup
x∈EN �
�μn,k(x) − νn,k(x) � � =0.
TV
Seien nun f1,...,fk ∈ Cb(E) und F (x1,...,xk) :=f1(x1) ···fk(xk). Dann gilt
wegen der Austauschbarkeit der Folge X1,X2,... für jede Wahl von paarweise
unterschiedlichen Zahlen 1 ≤ i1,...,ik ≤ n
E[F (X1,...,Xk)] = E[F (Xi1 ,...,Xik )].
Indem wir über alle solchen Wahlen von i1,...,ik mitteln, erhalten wir