Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

388 18 Konvergenz von Markovketten
Übung 18.4.1. Man zeige (18.20). ♣
Übung 18.4.2. Man zeige (18.21). ♣
Übung 18.4.3. Sei ν(dx) = 2
√
π 1 − x2 [−1,1](x) dx. Man zeige, dass die Chebyshev
Polynome zweiter Art bezüglich ν orthogonal sind:
�
UmUn dν = m=n. ♣
⎛
⎞
1/2 1/3 1/6
⎜
⎟
Übung 18.4.4. Sei E = {1, 2, 3} und p = ⎝ 1/3 1/3 1/3⎠.
Man bestimme die
0 3/4 1/4
invariante Verteilung und die exponentielle Konvergenzrate. ♣
Übung 18.4.5. Sei E = {0,...,N − 1}, r ∈ (0, 1) und
⎧
⎨ r, falls j = i +1(modN),
p(i, j) = 1 − r,
⎩
0,
falls j = i (mod N),
sonst.
Man zeige, dass p die Übergangsmatrix einer irreduziblen, aperiodischen Irrfahrt ist,
bestimme die invariante Verteilung und bestimme die exponentielle Konvergenzgeschwindigkeit.
♣
Übung 18.4.6. Sei N ∈ N und E = {0, 1} N der N-dimensionale Hyperkubus, das
heißt, zwei Punkte x, y ∈ E sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie
sich in genau einer Koordinate unterscheiden. Sei p die Übergangsmatrix der Irrfahrt
auf E, die mit Wahrscheinlichkeit ε>0 am Ort bleibt, mit Wahrscheinlichkeit 1−ε
hingegen zu einem (uniform gewählten) zufälligen Nachbarpunkt springt.
Man beschreibe p formal, zeige dass p aperiodisch und irreduzibel ist, und bestimme
die invariante Verteilung sowie die exponentielle Konvergenzgeschwindigkeit. ♣