Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

424 20 Ergodentheorie
Satz 20.20. Sei X = (Xn)n∈N � ein stationärer Prozess mit Werten in Z und
E[|X1|] < ∞ sowie E[X1
�I]=0f.s. Sei Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N. Dann
gilt
P � Sn =0 für unendlich viele n ∈ N � =1.
Speziell ist jede Irrfahrt auf Z mit zentrierten Zuwächsen rekurrent (Satz von
Chung-Fuchs [28]).
Beweis. Setze A = {Sn �= 0für jedes n ∈ N}.
1. Schritt Wir zeigen P[A] =0. (Ist X u.i.v., so ist S eine Markovkette, und
es folgt hieraus direkt die Rekurrenz von 0. Nur für den allgemeinen Fall stationärer
Prozesse X brauchen wir einen weiteren Schritt.) Nach dem Ergodensatz
gilt 1
nSn n→∞ �
−→ E[X1 �I] =0f.s. Es folgt für jedes m ∈ N
�
1
lim sup
n→∞ n max
� �
� �
�Sk�
1
= lim sup
k=1,...,n
n→∞ n max
�
� �
�Sk�
k=m,...,n
Also ist
|Sk|
≤ max
k≥m k
m→∞
−→ 0.
�
1
lim
n→∞ n max
k=1,...,n Sk
� �
1
= lim
n→∞ n min
k=1,...,n Sk
�
=0.
�
Nun ist Rn ≤ 1+
Satz 20.19 ist dann P[A] =0
max
k=1,...,n Sk
� �
−
min
k=1,...,n Sk
�
,also 1
n Rn
n→∞
−→ 0. Nach
2. Schritt Setze σn := inf{m ∈ N : Sm+n = Sn} und Bn := {σn < ∞} für
∞�
n ∈ N0 und B := Bn.
n=0
Wegen {σ0 = ∞} = A ist P[σ0 < ∞] =1. Stationarität impliziert P[σn < ∞] =
1 für jedes n ∈ N0, also P[B] =1.
Setze τ0 =0und iterativ τn+1 = τn + στn für n ∈ N0. Dannistτnder Zeitpunkt
der n-ten Rückkehr von S nach 0.AufBist τn < ∞ für jedes n ∈ N0, also
P � Sn =0 unendlich oft � = P � τn < ∞ für alle n ∈ N � ≥ P[B] =1. ✷
Wenn in Satz 20.20 die Zufallsvariablen Xn nicht ganzzahlig sind, kann man nicht
hoffen, dass Sn =0für irgendein n ∈ N mit positiver Wahrscheinlichkeit gilt. Andererseits
gilt auch hier eine Art Rekurrenzeigenschaft, nämlich Sn/n n→∞
−→ 0 fast
sicher nach dem Ergodensatz. Damit ist allerdings noch nicht ausgeschlossen, dass
n→∞
vielleicht Sn −→ ∞ mit positiver Wahrscheinlichkeit gelten könnte, etwa, wenn