Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

148 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Definition 7.20. Für f,g ∈L2 (μ) definieren wir
�
〈f,g〉 := fgdμ.
Für ¯ f,¯g ∈ L 2 (μ) definieren wir 〈 ¯ f,¯g〉 := 〈f,g〉, wobei f ∈ ¯ f und g ∈ ¯g.
Man beachte, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten f
und g ist.
Satz 7.21. 〈 · , · 〉 ist ein Skalarprodukt auf L 2 (μ) und eine positiv semidefinite symmetrische
Bilinearform auf L 2 (μ). Es gilt �f�2 = 〈f,f〉 1/2 .
Beweis. Übung! ✷
Als Korollar zu Satz 7.18 erhalten wir:
Korollar 7.22. (L 2 (μ), 〈 · , · 〉) ist ein reeller Hilbertraum.
Lemma 7.23. Ist 〈 · , · 〉 eine positiv semidefinite Bilinearform auf dem reellen Vektorraum
V ,soist〈 · , · 〉 : V × V → R stetig (bezüglich der Produkttopologie der
Topologie auf V , die von der Pseudometrik d(x, y) =〈x − y, x − y〉 1/2 erzeugt
wird).
Beweis. Klar. ✷
Definition 7.24 (Orthogonales Komplement). Sei V ein reeller Vektorraum mit
Skalarprodukt 〈 · , · 〉.IstW ⊂ V , so bezeichnen wir den Untervektorraum
W ⊥ := � v ∈ V : 〈v, w〉 =0 für alle w ∈ W �
als das orthogonale Komplement von W .
Satz 7.25 (Orthogonale Zerlegung). Sei (V,〈 · , · 〉) ein Hilbertraum und W ⊂ V
ein abgeschlossener linearer Unterraum. Für jedes x ∈ V existiert eine eindeutige
Darstellung x = y + z, wobei y ∈ W und z ∈ W ⊥ ist.
Beweis. Sei x ∈ V und c := inf{�x − w� : w ∈ W }. Sei ferner (wn)n∈N eine
Folge in W mit �x − wn� n→∞
−→ c. Die Parallelogrammgleichung ergibt
�wm − wn� 2 =2�wm − x� 2 +2�wn − x� 2 �
�
− 4 �
1
�2
(wm
�2
�
+ wn) − x�
� .
Da W linear ist, ist (wm + wn)/2 ∈ W , also � 1
2 (wm + wn) − x� ≥c. Alsoist
(wn)n∈N eine Cauchy-Folge: �wm − wn� −→0, falls m, n →∞.