Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

52 2 Unabhängigkeit
(ii) Offensichtlich ist log(1 − x) ≤−xfür x ∈ [0, 1]. Nach den de Morgan’schen
Regeln und der Stetigkeit von P von unten gilt daher
P � (A ∗ ) c� �
∞�
= P
∞�
A c �
n = lim
m→∞ P
�
∞�
A c �
n .
m=1 n=m
Nun ist aber für jedes m ∈ N
�
�∞
P
�
=
∞� �
1 − P[An] �
n=m
A c n
n=m
�
�∞
=exp
n=m
log � 1 − P[An] ��
�
≤ exp −
n=m
∞�
n=m
�
P[An] =0. ✷
Beispiel 2.8. Wir betrachten den unendlich oft wiederholten Würfelwurf und fragen
nach der Wahrscheinlichkeit, dass unendlich oft die Sechs auftritt. Es ist
also Ω = {1,...,6} N , A = (2 {1,...,6} ) ⊗N die Produkt-σ-Algebra und P =
� �
e∈{1,...,6}
1
6 δe
� ⊗N das Bernoulli-Maß (vergleiche Satz 1.64). Ferner sei An =
{ω ∈ Ω : ωn = 6} das Ereignis, dass beim n-ten Wurf eine Sechs auftritt.
Dann ist A∗ = lim sup An das Ereignis, dass unendlich oft eine Sechs auftritt (sie-
n→∞
he Beispiel 1.14). Ferner ist (An)n∈N eine unabhängige Familie mit ∞�
P[An] =
∞�
n=1
1
6 = ∞ und deshalb nach dem Lemma von Borel-Cantelli P[A∗ ]=1. ✸
Beispiel 2.9. Wir werfen einen Würfel nur einmal und definieren An für jedes n ∈
N als das Ereignis, dass bei diesem (einen) Wurf eine Sechs geworfen wurde. Man
bemerke, dass A1 = A2 = A3 = ... Dann ist �
n∈N P[An] =∞, jedoch P[A∗ ]=
P[A1] = 1
6 . Dies zeigt, dass in Teil (ii) des Lemmas von Borel-Cantelli nicht ohne
weiteres auf die Unabhängigkeit verzichtet werden kann. ✸
Beispiel 2.10. Sei Λ ∈ (0, ∞) und 0 ≤ λn ≤ Λ für n ∈ N. Ferner seien Xn, n ∈ N,
Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Parametern λn. Dann gilt
Es ist nämlich
∞�
P[Xn ≥ n] =
n=1
P � Xn ≥ n für unendlich viele n � =0.
=
∞�
n=1 m=n
∞�
∞�
P[Xn = m] =
m�
e
m=1 n=1
−λn λmn m! ≤
∞�
m=1 n=1
∞�
m=1
n=1
m�
P[Xn = m]
m Λm
m! = ΛeΛ < ∞. ✸