Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

20.2 Ergodensätze 419
Daher ist X0 ≥ Sk+1 − Mn ◦ τ für k =1,...,n. Offensichtlich ist S1 = X0 und
Mn ◦ τ ≥ 0, also auch (für k =0) X0 ≥ S1 − Mn ◦ τ und damit auch
Außerdem ist offenbar
X0 ≥ max{S1,...,Sn}−Mn ◦ τ. (20.2)
{Mn > 0} c ⊂{Mn =0}∩{Mn ◦ τ ≥ 0} ⊂{Mn − Mn ◦ τ ≤ 0}. (20.3)
Aus (20.2) und (20.3) und der Maßtreue von τ folgt
E � � � �
X0 {Mn>0} ≥ E (max{S1,...,Sn}−Mn ◦ τ) {Mn>0}
= E � �
(Mn − Mn ◦ τ) {Mn>0}
≥ E � Mn − Mn ◦ τ � = E[Mn] − E[Mn] = 0. ✷
Satz 20.14 (Individueller Ergodensatz, Birkhoff 1931). Sei f = X0 ∈L 1 (P).
Dann gilt
n−1
1 �
n
k=0
�
Xk = 1
n−1
n
k=0
Ist speziell τ ergodisch, so gilt 1
n
f ◦ τ k n→∞
n−1 �
Xk
k=0
�
−→ E[X0
�I] P-f.s.
n→∞
−→ E[X0] P-f.s.
Beweis. Ist τ ergodisch, so ist E[X0 |I] = E[X0] und der Zusatz folgt aus der
ersten Aussage.
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Nach Lemma 20.6 ist E[X0 |I] ◦ τ =
E[X0 |I] P–f.s. Wir können also � Xn := Xn − E[X0 |I] betrachten und daher
ohne Beschränkung der Allgemeinheit E[X0 |I]=0annehmen. Setze
Z := lim sup
n→∞
1
n Sn.
Sei ε>0 und F := {Z > ε}. Zu zeigen ist, dass P[F ]=0gilt. Hieraus folgt
1
dann P[Z >0]=0und analog mit −X auch lim inf
n→∞ nSn ≥ 0 fast sicher, also
1
nSn n→∞
−→ 0 f.s.
Offenbar ist Z ◦ τ = Z, also F ∈I. Setze
X ε n := (Xn − ε) F , S ε n := X ε 0 + ...+ X ε n−1,
M ε n := max{0,S ε 1,...,S ε n}, Fn := {M ε n > 0}.