Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

E � ( ¯ T Kn,n
t+s − ¯ T Kn,n
s
) 4� ≤ n −2 σ −4 E � (T Kn
Kn
⌈(t+s)n⌉ − T⌊sn⌋ )4�
= n −2 σ −4 E � (T Kn
⌈(t+s)n⌉−⌊sn⌋ )4�
≤ 3tnK2 n
n 2 σ 2 +3t2 = 3
≤ 3
σ 2 t3/2 +3t 2 ≤
21.8 Satz von Donsker 459
σ 2 tn−1/2 +3t 2
�
3
σ2 +3√ �
N t 3/2 .
(21.36)
Nach (21.34) und (21.36) gibt es also zu jedem N > 0 eine Konstante C =
C(N,σ 2 ), sodass für jedes n ∈ N und alle s, t ∈ [0,N] gilt
E � ( ¯ T Kn,n
t+s − ¯ T Kn,n
s
) 4� ≤ Ct 3/2 .
Nach dem Kolmogorov’schen Momentenkriterium (Satz 21.42 mit α =4und β =
1/2) ist also (L[ ¯ T Kn,n ],n∈ N) straff in M1(C([0, ∞))). ✷
Übung 21.8.1. Seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion
F .EsseiGn :[0, 1] → [−1, 1], t ↦→ n−1/2 �n �
i=1 [0,t](F (Xi)) − t � und
Mn := �Gn�∞. Ferner sei M =supt∈[0,1] |Bt|,woB eine Brown’sche Brücke ist.
(i) Man zeige E[Gn(t)] = 0 und Cov[Gn(s),Gn(t)] = s∧t−st für s, t ∈ [0, 1].
(ii) Man zeige E[(Gn(t) − Gn(s)) 4 ] ≤ C � (t − s) 2 + |t − s|/n � für ein C>0.
(iii) Man folgere, dass eine geeignete stetige Version von Gn schwach gegen B
konvergiert. Beispielsweise kann Hn(t) =n−1/2 �n �
i=1 hn(F (Xi) − t) − t �
genommen werden, wo hn(s) =1− (s/εn ∨ 0) ∧ 1 für eine geeignete Folge
εn ↓ 0.
n→∞
(iv) Man zeige schließlich Mn =⇒ M.
Bemerkung: Die Verteilung von M lässt sich durch die Formel von Kolmogorov-
Smirnov ([97] und [146]) ausdrücken (siehe etwa [125]):
∞�
P[M >x]=2 (−1) n−1 e −2n2x 2
. (21.37)
n=1
Vergleiche hierzu auch (21.20). Mit Hilfe der Statistik Mn können Zufallsvariablen
bei bekannter Verteilung auf Unabhängigkeit getestet werden. Seien X1,X2,...
und ˜ X1, ˜ X2,... unabhängige Zufallsvariablen mit unbekannten, stetigen Verteilungsfunktionen
F und ˜ F und empirischen Verteilungsfunktionen Fn und ˜ F . Ferner
sei
Dn := sup |Fn(t) −
t∈R
˜ Fn(t)|.
Unter der Annahme, dass F = ˜ F gilt, konvergiert � n/2 Dn in Verteilung gegen
M. Diese Tatsache ist Grundlage von nichtparametrischen Tests auf Verteilungsgleichheit.
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