Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 51
�
k�
�
∞�
P (piN) = P � {p1 ···pkn} �
i=1
n=1
= ζ(s) −1 (p1 ···pk) −s
=(p1 ···pk) −s =
∞�
n −s
n=1
k�
P[ piN ].
Nach Satz 2.5 ist nun auch ((pN) c ,p∈P) unabhängig. Deshalb gilt
ζ(s) −1 �
�
= P[{1}] =P (pN) c
�
= lim
n→∞ P
� �
= lim
�
n→∞
p∈Pn
p∈Pn
p∈P
(pN) c�
i=1
� � � � −s
1 − P[ pN ] = 1 − p � .
Damit ist (2.5) gezeigt. ✸
Wenn wir einen Würfel unendlich oft werfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass unendlich oft (also: immer wieder mal) eine Sechs geworfen wird? Diese Wahrscheinlichkeit
sollte Eins sein, denn sonst gäbe es einen letzten Zeitpunkt, zu dem
eine Sechs fällt und danach nicht wieder. Dies wäre zumindest nicht sehr plausibel.
Man erinnere sich daran, wie wir mit Hilfe des Limes superior (Definition 1.13)
formalisiert hatten, dass unendlich viele Ereignisse aus einer Familie von Ereignissen
eintreten. Der folgende Satz bestätigt nun unsere oben geäußerte Vermutung
und gibt zudem Auskunft darüber, unter welchen Bedingungen wir nicht erwarten
können, dass unendlich viele der Ereignisse eintreten.
Satz 2.7 (Lemma von Borel-Cantelli). Seien A1,A2,...Ereignisse, und sei A∗ =
lim sup An.
n→∞
(i) Ist �∞ n=1 P[An] < ∞, soistP[A∗ ]=0. (Hier kann P ein beliebiges Maß
auf (Ω,A) sein.)
(ii) Ist (An)n∈N unabhängig und �∞ n=1 P[An] =∞,soistP[A∗ ]=1.
Beweis. (i) Da P stetig von oben und σ-subadditiv ist, ist nach Voraussetzung
P[A ∗ ] = lim
n→∞ P
�
∞�
�
∞�
Am ≤ lim P[Am] =0.
n→∞
m=n
p∈P
m=n