Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.3 Die Itô-Formel 545
Korollar 25.33. Der Prozess (F (Wt))t≥0 ist genau dann ein lokales Martingal,
wenn F harmonisch ist (also △ F ≡ 0 gilt).
Beweis. Ist F harmonisch, so ist F (Wt) =F (W0) + �d � t
k=1 0 ∂kF (Ws) dW k s
als Summe von Itô-Integralen ein stetiges lokales Martingal.
Ist andererseits F ein lokales Martingal, so ist auch � t
0 △ F (Ws) ds als Differenz
�
von stetigen lokalen Martingalen ein stetiges lokales Martingal. Da t ↦→
t
0 △ F (Ws) ds von endlicher Variation ist, ist � t
0 △ F (Ws) ds =0für alle t ≥ 0
fast sicher (nach Korollar 21.72). Also ist △ F ≡ 0. ✷
Korollar 25.34 (Zeitabhängige Itô-Formel). Ist F ∈ C 2,1 (R d × R), sogilt
F (WT ,T) − F (W0, 0)
d�
� T
=
k=1
0
∂kF (Ws,s) dW k � T
s +
0
�
∂d+1 + 1
2 (∂2 1 + ...+ ∂ 2 �
d) F (Ws,s) ds.
Beweis. Wende Satz 25.32 an auf Y =(W 1 t ,...,W d t ,t)t≥0. ✷
Übung 25.3.1 (Satz von Fubini für Itô-Integrale). Sei X ∈ CqV und sei g :
[0, ∞) 2 → R stetig und im Inneren nach der zweiten Koordinate stetig differenzierbar
mit Ableitung ∂2g. Man zeige mit Hilfe der Produktregel (Korollar 25.31)
� s �� t � � t �� s
�
g(u, v) du dXv = g(u, v) dXv du.
0
und � s
0
0
�� v
0
�
g(u, v) du dXv =
0
0
� s �� s
0
u
�
g(u, v) dXv du. ♣
Übung 25.3.2 (Stratonovich-Integral). Sei P eine zulässige Zerlegungsfolge, X ∈
C P qV und f ∈ C1 (R) mit Stammfunktion F . Man zeige: Für jedes t ≥ 0 ist das
Stratonovich-Integral
� T
0
f(Xt) ◦ dXt := lim
�
f
n→∞
t∈Pn T
� Xt
′ + Xt
2
wohldefiniert, und es gilt die klassische Substitutionsregel
F (XT ) − F (X0) =
� T
0
F ′ (Xt) ◦ dXt.
�
�Xt �
′ − Xt
Man zeige, dass im Gegensatz zum Itô-Integral das Stratonovich-Integral bezüglich
eines stetigen lokalen Martingals im Allgemeinen kein lokales Martingal ist. ♣