Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie 507
0.1
0.05
m
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
–0.05
–0.1
beta=0.9
beta=1.0
beta=1.1
beta=1.5
Abb. 23.2. Die verschobene freie Energie F β (m) − F β (0) des Weiss’schen Ferromagneten
mit äußerem Feld h =0.04.
sind. Wir wollen die räumliche Struktur der Wechselwirkung ignorieren und annehmen,
dass jedes Teilchen mit jedem anderen in gleicher Weise wechselwirkt (mean
field Annahme). Außerdem wollen wir annehmen, dass es ein äußeres Magnetfeld
der Stärke h gibt. Bis auf Konstanten ist die Energie pro Teilchen daher
U(m) =− 1
2 m2 − hm.
Die Entropie des Zustands m ist
H(m) =− 1+m
log
2
Die freie Energie pro Teilchen ist also
� 1+m
2
�
1 − m
− log
2
� 1 − m
F β (m) =− 1
2 m2 − hm + β −1� 1+m
�
1+m
�
log +
2 2
1 − m
�
1 − m
��
log .
2 2
Um die Minimalstellen von F β zu bestimmen, berechnen wir die Ableitung
0 ! = d
dm F β (m) =−m − h + β −1 arctanh(m).
Wir erhalten so für m die Gleichung
m = tanh(β(m + h)). (23.23)
2
�
.