Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

310 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Als eine Anwendung des Satzes von Lindeberg-Feller bringen wir den so genannten
Dreireihensatz, der auf Kolmogorov zurückgeht.
Satz 15.50 (Kolmogorov’scher Dreireihensatz). Seien X1,X2,... unabhängige
reelle Zufallsvariablen. Es sei K>0 und Yn := Xn {|Xn|≤K} für jedes n ∈ N.
Die Reihe �∞ n=1 Xn konvergiert genau dann fast sicher, wenn die folgenden drei
Bedingungen gelten:
(i)
(ii)
(iii)
∞�
P[|Xn| >K] < ∞,
n=1
∞�
E[Yn] konvergiert,
n=1
∞�
Var[Yn] < ∞.
n=1
Beweis. ⇐= “ Es gelten (i), (ii) und (iii). Nach Übung 7.1.1 konvergiert wegen
”
(iii) die Reihe �∞ n=1 (Yn − E[Yn]) f.s. Wegen (ii) konvergiert also �∞ n=1 Yn f.s.
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli existiert ein N = N(ω), sodass |Xn| Kunendlich oft, was der
Annahme widerspräche).
Wir nehmen an, dass (iii) nicht gilt und führen dies zum Widerspruch. Wir setzen
σ2 n = �n k=1 Var[Yk] und definieren ein Schema (Xn,l; l = 1,...,n, n ∈ N)
durch Xn,l = (Yl− E[Yl])/σn. Das Schema ist zentriert und normiert. Wegen
σ2 n→∞
n −→ ∞, gilt für jedes ε > 0 und großes n ∈ N, dass2K < εσn, aber
|Xn,l| ≤ ε für alle l = 1,...,n. Es folgt Ln(ε) n→∞
−→ 0, wobei Ln(ε) =
n�
E � X2 �
n,l {|Xn,l|≥ε} die Größe aus der Lindeberg-Bedingung ist (siehe (15.6)).
l=1
Nach dem Satz von Lindeberg-Feller gilt also Sn := Xn,1 +...+Xn,n
n→∞
=⇒ N0,1.
Wie
�
im ersten Teil des Beweises gezeigt, folgt aus der fast sicheren Konvergenz von
∞
n=1 Xn und aus (i)
∞�
n=1
Yn konvergiert fast sicher. (15.9)
n→∞
Insbesondere gilt Tn := (Y1 + ...+ Yn)/σn =⇒ 0. Nach dem Satz von Slutzky
gilt also auch (Sn − Tn) n→∞
=⇒ N0,1. Andererseits ist Sn − Tn deterministisch für
jedes n ∈ N, womit die Annahme, dass (iii) nicht gilt ad absurdum geführt ist.