Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten 425
Sn von der Größenordnung √ n wächst. Der nächste Satz zeigt uns, dass der Partialsummenprozess
nur linear schnell nach ∞ gehen kann, wenn die Xn integrierbar
sind.
Satz 20.21. Sei (Xn)n∈N ein reeller ergodischer Prozess und jedes Xn integrierbar.
Sei Sn = X1 +...+Xn für n ∈ N0. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
n→∞
(i) Sn −→ ∞ fast sicher.
�
�
n→∞
(ii) P −→ ∞ > 0.
Sn
Sn
(iii) lim
n→∞ n = E[X1] > 0 fast sicher.
Sind die Zufallsvariablen X1,X2,...u.i.v. mit E[X1] =0und P[X1 =0]< 1, so
gilt lim infn→∞ Sn = −∞ und lim supn→∞ Sn = ∞ fast sicher.
Beweis. (i) ⇐⇒ (ii)“ Offenbar ist {Sn
”
also Wahrscheinlichkeit 0 oder 1.
n→∞
−→ ∞} ein invariantes Ereignis, hat
” (iii) =⇒ (i)“ Dies ist trivial.
” (i) =⇒ (iii)“ Die Gleichheit folgt aus dem individuellen Ergodensatz. Es reicht
also zu zeigen, dass lim infn→∞ Sn/n > 0 fast sicher gilt.
Für n ∈ N0 und ε>0 sei
A ε n := � Sm >Sn + ε für alle m ≥ n +1 � .
Sei S− := inf{Sn : n ∈ N0}. Nach Voraussetzung (i) ist S− > −∞ fast sicher
und τ := sup{n ∈ N0 : Sn = S− } fast sicher endlich. Es gibt also ein N ∈ N mit
P[τ 0.
ergodisch. Nach dem individuellen
Da (Xn)n∈N ergodisch ist, ist auch � Aε n n∈N0
Ergodensatz gilt daher 1 �n−1 n i=0 Aε n→∞
n
−→ p fast sicher. Also existiert ein n0 =
n0(ω) mit �n−1 i=0 Aε pn
≥ n 2 für alle n ≥ n0. Es folgt Sn ≥ pnε
2 für n ≥ n0, also
lim infn→∞ Sn/n ≥ pnε
2 > 0.
Der Zusatz folgt, weil lim inf Sn und lim sup Sn keinen endlichen Wert annehmen
können und damit terminal messbar sind, also fast sicher konstant gleich −∞ oder
+∞. Nach dem schon Gezeigten ist aber Sn
n→∞
−→ ∞ ausgeschlossen, also gilt
lim infn→∞ Sn = −∞. Analog folgt lim supn→∞ Sn = ∞. ✷
Bemerkung 20.22. Satz 20.21 gilt auch ohne die Integrierbarkeitsbedingung für die
Xn. Siehe [92]. ✸