Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

508 23 Große Abweichungen
Im Fall h =0hat (23.23) stets die Lösung m =0.Istβ≤ 1, soistdieseLösung
eindeutig, und F β hat das globale Minimum in m =0.Istβ>1, so besitzt (23.23)
zwei weitere Lösungen m β,0
− ∈ (−1, 0) und m β,0
+ = −m β,0
bestimmt werden können.
− , die nur numerisch
In diesem Fall besitzt F β in 0 ein lokales Maximum und in m β,0
± globale Minima.
Da für große n nur noch solche Werte angenommen werden, für die F β minimal ist,
liegt die Verteilung konzentriert um 0, falls β ≤ 1 und konzentriert um m β,0
± , falls
β>1. Im letzterem Fall ist die betragsmäßige Magnetisierung � �m β,0�
�
± = m β,0
+ > 0.
Wir haben also einen Phasenübergang zwischen einer Phase bei hoher Temperatur
(β ≤ 1), wo keine Magnetisierung auftritt, und niedriger Temperatur (β > 1),
wo so genannte spontane Magnetisierung auftritt (das heißt ohne Einwirkung eines
äußeren Feldes).
Ist h �= 0, so besitzt F β in m =0keine Minimalstelle. Vielmehr ist F β asymmetrisch
und besitzt ein globales Minimum m β,h mit selbem Vorzeichen wie h, sowie
für großes β noch eine weiteres lokales Minimum mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.
Die exakten Werte für die Magnetisierung können wieder nur numerisch
bestimmt werden. Wir können m β,h jedoch für hohe Temperaturen (β klein) approximativ
bestimmen, indem wir die Näherung tanh(β(m + h)) ≈ β(m + h)
verwenden. Wir erhalten so
m β,h h
≈
β−1 − 1 =
h
T − Tc
für T →∞, (23.24)
wo die Curie-Temperatur Tc =1die kritische Temperatur für das Auftreten von
spontaner Magnetisierung ist. Die Beziehung (23.23) heißt Curie-Weiss’sches Gesetz.
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1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
m
h=0.2
h=0.04
h=0.001
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Abb. 23.3. Weiss’scher Ferromagnet: Magnetisierung m β,h
+ als Funktion von β.
beta