Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.4 Beispiel: Perkolation 69
Es reicht also, den Fall d =2zu betrachten. Hier zeigen wir pc ≤ 2
3 . Wir geben ein
Konturargument an, das von Peierls für ein Magnetismusmodell (das Ising Modell,
siehe Beispiel 18.21 und speziell (18.13)) entwickelt wurde (siehe [119]).
Für N ∈ N schreiben wir (vergleiche (2.11) mit x =(i, 0))
CN :=
N�
C p� (i, 0) �
i=0
für die Menge der Punkte, die eine offene Verbindung in die Menge {0,...,N}×
{0} haben. Dann ist wegen der Subadditivität der Wahrscheinlichkeit (und wegen
P[#C p� (i, 0) � = ∞] =θ(p) für jedes i ∈ Z)
θ(p) =
1
N +1
N�
P � #C p� (i, 0) � = ∞ � ≥
i=0
1
N +1 P� #CN = ∞ � .
Wir betrachten nun Konturen im dualen Graphen ( ˜ Z 2 , ˜ K), dieCN umschließen,
falls #CN < ∞. Der duale Graph ist dabei definiert durch
˜Z 2 �
1 1
�
= , + Z
2 2
2 ,
�
˜K = {x, y} : x, y ∈ ˜ Z 2 �
, �x − y�2 =1 .
Eine Kante ˜ k im dualen Graphen ( ˜ Z2 , ˜ K) kreuzt also genau eine Kante k in
(Z2 ,K). Wir nennen ˜ k offen, falls k offen ist, und sonst geschlossen. Ein Kreis
γ ist ein selbstüberschneidungsfreier Pfad in ( ˜ Z2 , ˜ K), bei dem Anfangs- und Endpunkt
übereinstimmen. Eine Kontur der Menge CN ist ein minimaler Kreis, der CN
umschließt. Minimal heißt dabei, dass die umschlossene Fläche minimal ist (siehe
Abb. 2.2). Für n ≥ 2N sei
�
�
Γn = γ : γ ist ein Kreis der Länge n und umschließt {0,...,N}×{0} .
Wir wollen eine obere Abschätzung für #Γn angeben. Dafür wählen wir für γ ∈
Γn � einen Punkt � aus γ willkürlich als Startpunkt aus, nämlich den oberen Punkt
1 1 m + 2 , 2 des rechtesten x-Achsendurchgangs von γ (in Abb. 2.2 ist dies der
Punkt � 5+ 1
�
1
2 , 2 ). Offenbar ist m ≥ N und m ≤ n weil der Ursprung von Γn
umschlossen wird. Ausgehend von � m + 1
�
1
2 , 2 gibt es für jede weitere Kante von γ
jeweils höchstens drei Möglichkeiten. Also ist
#Γn ≤ n · 3 n .
Der Kreis γ heißt geschlossen, wenn er nur (in ˜ K) geschlossene Kanten benutzt.
Eine Kontur von CN muss automatisch geschlossen sein und eine Länge größer als
2N haben. Daher gilt für p> 2
3