Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.1 Harmonische Funktionen 391
Die so erzeugte Markovkette ˜ X ist transient mit Δ als einzigem absorbierenden
Zustand. Weiterhin ist genau dann pf = f auf E \ A, wenn˜pf = f auf E \ A ist.
Wegen ˜ G(y, y) =1für y ∈ A ist (vergleiche Satz 17.34)
Px[Xτ = y] =Px[˜τy < ∞] = ˜ F (x, y) = ˜ G(x, y) für alle x ∈ E \ A, y ∈ A.
Nun ist x ↦→ ˜ G(x, y) harmonisch auf E \ A. Nach dem Superpositionsprinzip ist
auch
f(x) = �
˜G(x, y) g(y) (19.3)
y∈A
harmonisch auf E \ A. Wegen dieser Darstellung heißt, in Analogie zur kontinuierlichen
Potentialtheorie, ˜ G die Greenfunktion für die Gleichung (p − I)f =0auf
E \ A. ✸
Definition 19.5. Wir nennen das Gleichungssystem
(p − I)f(x) =0, für x ∈ E \ A,
f(x) =g(x), für x ∈ A,
das zu p − I gehörige Dirichlet-Problem auf E \ A mit Randwerten g auf A.
(19.4)
Im Folgenden wollen wir stets annehmen, dass F (x, y) > 0 ist für jedes x ∈ E \ A
und jedes y ∈ A. Speziell ist dies natürlich erfüllt, wenn X irreduzibel ist.
Satz 19.6 (Maximumprinzip). Sei f eine harmonische Funktion auf E \ A. Gibt
es ein x0 ∈ E \ A mit f(x0) =sup x∈E f(x), soistf konstant.
Beweis. Für n ∈ N sei Gn := � x ∈ E : pn (x0,x) > 0 � . Nach Voraussetzung ist
f(x0) =p n f(x0) = �
p n (x0,x)f(x) ≤ f(x0),
x∈Gn
also f(x) =f(x0) für jedes x ∈ Gn. WegenF (x0,x) > 0 für jedes x ∈ E, ist
� ∞
n=1 Gn = E, also f(x) =f(x0) für jedes x ∈ E. ✷
Satz 19.7 (Eindeutigkeitssatz für harmonische Funktionen). Ist E \ A endlich
und sind f1 und f2 harmonisch auf E \ A und f1 = f2 auf A, dann ist f1 = f2.
Mit anderen Worten: Das Dirichlet-Problem (19.4) besitzt eine eindeutige Lösung,
die durch (19.3) (oder äquivalent (19.1)) gegeben ist.
Beweis. Nach dem Superpositionsprinzip ist f := f1−f2 harmonisch auf E\A mit
f � � ≡ 0.Istsupx∈E f(x) > 0, so gibt es ein x0 ∈ E\A mit f(x0) =supx∈E f(x).
A
Nach dem Maximumprinzip ist dann aber f konstant und damit f ≡ 0. ✷