Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

212 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Lemma 11.3 (Aufkreuzungsungleichung). Es sei (Xn)n∈N0 ein Submartingal.
Dann ist
E � U a,b�
E[(Xn − a)
n ≤ + ] − E[(X0 − a) + ]
.
b − a
Beweis. Wir erinnern an das diskrete stochastische Integral (Definition 9.37) H ·X
und beschreiben formal die oben angedeutete Handelsstrategie H durch m ∈ N0
�
1, falls m ∈{τk +1,...,σk} für ein k ∈ N,
Hm :=
0, sonst.
H ist nichtnegativ und vorhersagbar, denn für m ∈ N ist
{Hm =1} =
∞� �
{τk ≤ m − 1}∩{σk >m− 1} � ,
k=1
und jedes der Ereignisse liegt in Fm−1. Setze Y = max(X, a). Istk∈ N und
σk < ∞, so ist offenbar Yσi − Yτi = Yσi − a ≥ b − a für jedes i ≤ k , also ist
(H ·Y )σk =
k�
σi �
i=1 j=τi+1
(Yj − Yj−1) =
k�
(Yσi − Yτi ) ≥ k(b − a).
Für j ∈{σk,...,τk+1} ist (H ·Y )j =(H ·Y )σk , und für j ∈{τk +1,...,σk} ist
(H ·Y )j ≥ (H ·Y )τk =(H ·Y )σk−1 .Für n ∈ N ist daher (H ·Y )n ≥ (b − a)U a,b
n .
Nach Korollar 9.34 ist Y ein Submartingal, und damit (nach Satz 9.39) auch H ·Y
und (1 − H)·Y . Nun ist Yn − Y0 =(1·Y )n =(H ·Y )n + ((1 − H)·Y )n, also
E[Yn − Y0] ≥ E � � � � a,b
(H ·Y )n ≥ (b − a)E Un . ✷
Satz 11.4 (Martingalkonvergenzsatz).
Sei (Xn)n∈N0 ein Submartingal mit sup{E[X+ n ]: n ≥ 0} < ∞. Dann existiert
n→∞
eine F∞-messbare Zufallsvariable X∞ mit E[|X∞|] < ∞ und Xn −→ X∞
fast sicher.
Beweis. Für a