Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8 1 Grundlagen der Maßtheorie
Nach Voraussetzung ist für A ∈Eauch A ∩ E ∈E, also ist E⊂DE, falls E ∈E
gilt. Nach Bemerkung 1.17(ii) ist daher auch δ(E) ⊂DE für E ∈E.Für B ∈ δ(E)
und E ∈Eist also B ∩ E ∈ δ(E). Mithin gilt E ∈DB für jedes B ∈ δ(E), also
E⊂DB für jedes B ∈ δ(E), und damit gilt (1.3). ✷
Von besonderer Bedeutung sind σ-Algebren, die von Topologien erzeugt werden.
Hier wiederum spielt natürlich der euklidische Raum R n die prominenteste Rolle,
aber wir wollen auch den (unendlichdimensionalen) Raum C([0, 1]) der stetigen
Funktionen [0, 1] → R im Blick haben. Auf diesem Raum wird durch die Norm
�f�∞ =sup x∈[0,1] |f(x)| eine Topologie erzeugt. Zur Erinnerung bringen wir hier
das Axiomensystem der Topologie.
Definition 1.20 (Topologie). Sei Ω �= ∅ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem
τ ⊂ Ω heißt Topologie auf Ω, falls folgende drei Eigenschaften gelten.
(i) ∅,Ω ∈ τ.
(ii) Sind A, B ∈ τ,soistauchA∩B∈τ. (iii) Ist F⊂τ eine beliebige Familie, so ist auch ��
A∈F A� ∈ τ.
Das Paar (Ω,τ) heißt dann topologischer Raum. Die Mengen A ∈ τ heißen offen,
die Mengen A ⊂ Ω mit A c ∈ τ heißen abgeschlossen.
Anders als bei σ-Algebren sind bei Topologien nur endliche Schnitte, jedoch auch
überabzählbare Vereinigungen erlaubt. Ist d eine Metrik auf Ω, und bezeichnet
Br(x) ={y ∈ Ω : d(x, y) 0, so wird eine Topologie erzeugt durch
� �
τ =
(x,r)∈F Br(x)
�
: F ⊂ Ω × (0, ∞) .
Dies ist das gewöhnliche System offener Mengen, das man in den meisten Analysisbüchern
findet.
Definition 1.21 (Borel’sche σ-Algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer Raum. Die
von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra
B(Ω) :=B(Ω,τ) :=σ(τ)
heißt Borel’sche σ-Algebra auf Ω. Die Elemente A ∈B(Ω,τ) heißen Borel’sche
Mengen oder Borel-messbare Mengen.
Bemerkung 1.22. Wir sind meistens an B(R n ) interessiert, wobei wir auf R n den
euklidischen Abstand annehmen: