Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

312 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz
Wir kommen zu einer mehrdimensionalen Variante des zentralen Grenzwertsatzes.
Definition 15.52. Sei C eine (strikt) positiv definite symmetrische reelle d×d Matrix
und μ ∈ Rd . Ein Zufallsvektor X =(X1,...,Xd) T heißt d-dimensional normalverteilt
mit Erwartungswert μ und Kovarianzmatrix C, falls X die Dichte
fμ,C(x) =
1
� (2π) d det(C) exp
für x ∈ R d hat. Wir schreiben X ∼Nμ,C.
�
− 1
2
� x − μ, C −1 (x − μ) � �
(15.10)
Satz 15.53. Sei μ ∈ R d und C eine reelle positiv definite symmetrische reelle d×d
Matrix. Ist X ∼Nμ,C, dann gelten:
(i) E[Xi] =μi für jedes i =1,...,d.
(ii) Cov[Xi,Xj] =Ci,j für alle i, j =1,...,d.
(iii) 〈λ, X〉 ∼N 〈λ,μ〉,〈λ,Cλ〉 für jedes λ ∈ Rd .
(iv) ϕ(t) :=E[ei〈t,X〉 ]=ei〈t,μ〉 1 − e 2 〈t,Ct〉 für jedes t ∈ Rd .
Es gilt sogar X ∼Nμ,C ⇐⇒ (iii) ⇐⇒ (iv).
Beweis. (i) und (ii) sind einfache Rechnungen, ebenso (iii) und (iv). Die Implikation
(iii) =⇒ (iv) ist simpel. Die Familie {ft : x ↦→ e i〈t,x〉 ,t∈ R d } ist trennend für
M1(R d ) nach dem Satz von Stone–Weierstraß. Also legt ϕ die Verteilung von X
eindeutig fest. ✷
Bemerkung 15.54. Für eindimensionale Normalverteilungen liegt es nahe, Nμ,0 als
δμ zu definieren. Einen so einfachen Begriff können wir bei mehrdimensionalen
Normalverteilungen nicht mehr erwarten (außer für den Fall C =0), wenn eine
Entartung nur in einigen Richtungen auftritt, also C nur noch positiv semidefinit
und symmetrisch ist. In diesem Fall definieren wir Nμ,C als diejenige Verteilung
auf Rn mit charakteristischer Funktion ϕ(t) =ei〈t,μ〉 1 − e 2 〈t,Ct〉 . ✸
Satz 15.55 (Cramér-Wold Device). Sind Xn =(Xn,1,...,Xn,d) T ∈ R d , n ∈
N ∪{∞}, Zufallsvektoren, so gilt genau dann
PXn
wenn für jedes λ ∈ R d gilt, dass
P 〈λ,Xn〉
n→∞
−→ PX∞
schwach, (15.11)
n→∞
−→ P 〈λ,X∞〉 schwach. (15.12)