Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

X n :=
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approximation 449
n� 2 m
�
m=0 k=1
ξm,k Bm,k
und definieren Xt als den L 2 (P)-Limes Xt = L 2 − lim
n→∞ Xn .
Satz 21.28 (Brown’sche Bewegung, L2 –Approximation).
X ist eine Brown’sche Bewegung, und es gilt
�
lim �X n − X � � =0 P–fast sicher. (21.24)
∞
n→∞
Beweis. Da gleichmäßige Limiten stetiger Funktionen wieder stetig sind, folgt aus
(21.24) die Stetigkeit von X und aus (21.23) (zusammen mit Satz 21.11), dass X
eine Brown’sche Bewegung ist. Es reicht also, (21.24) zu zeigen.
Da (C([0, 1]), � · �∞) vollständig ist, reicht es zu zeigen, dass P-fast sicher Xn eine Cauchy-Folge in (C([0, 1]), � · �∞) ist. Man beachte, dass �Bn,k�∞ ≤ 2−n/2 und Bn,kBn,l =0, falls k �= l.Alsoist
�
� n n−1
X − X � � ≤ 2
∞ −n/2 max � |ξn,k|, k=1,...,2 n� .
Mithin ist
�
P �X n − X n−1 �∞ > 2 −n/4�
≤
�
2 n
k=1
n 2
=2 √
2π
≤ 2 n+1 exp
�
P |ξn,k| > 2 n/4�
� ∞
2n/4 e −x2 /2
dx
�
−2 (n/2)−1�
.
Offenbar ist ∞�
P[�Xn − Xn−1�∞ > 2−n/4 ] < ∞, also nach dem Lemma von
n=1
Borel-Cantelli
���X n n−1
P − X � � > 2
∞ −n/4
�
höchstens endlich oft =1.
Es folgt lim
n→∞ sup �X
m≥n
m − Xn�∞ =0 P–fast sicher. ✷
Beispiel 21.29 (Stochastisches Integral). Wir nehmen an, dass (ξn)n∈N eine u.i.v.
Folge von N0,1 verteilten Zufallsvariablen ist, sowie (bn)n∈N eine Orthonormal-
basis von L2 �n ([0, 1]), sodass Wt := limn→∞ k=1 〈 [0,t],bk〉, t ∈ [0, 1], eine
Brown’sche Bewegung ist. Für f ∈ L2 ([0, 1]) definieren wir
∞�
I(f) := ξn〈f,bn〉.
n=1