Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

94 4 Das Integral
Satz 4.23 (Riemann-Integral und Lebesgue-Integral). Sei f : I → R Riemannintegrierbar
auf I =[a, b]. Dann ist f Lebesgue-integrierbar auf I mit Integral
�
I
fdλ=
� b
a
f(x) dx.
Beweis. Sei t so gewählt, dass (4.6) gilt. Nach Voraussetzung gibt es ein n ∈ N
mit |U t n(f)| < ∞ und |O t n(f)| < ∞. Alsoistf beschränkt. Indem wir f durch
f + �f�∞ ersetzen, können wir annehmen, dass f ≥ 0 gilt. Setze
gn := f(b) {b} +
hn := f(b) {b} +
n�
i=1
n�
i1
(inf f([t n i−1,t n i ))) [t n i−1 ,t n i ),
(sup f([t n i−1,t n i ))) [t n i−1 ,t n i ).
Da t n+1 eine Verfeinerung von t n ist, gilt gn ≤ gn+1 ≤ hn+1 ≤ hn. Also existieren
g und h mit gn ↑ g und hn ↓ h. Nach Konstruktion gilt g ≤ h und
�
�
gdλ= lim
I
n→∞
gn dλ = lim
I
n→∞ U t n(f)
� �
hn dλ = hdλ.
= lim
n→∞ Ot n(f) = lim
n→∞
Also ist λ-fast überall h = g. Nach Konstruktion ist g ≤ f ≤ h, und g und h sind als
Limiten von Elementarfunktionen messbar bezüglich B(I) – B(R). Es folgt, dass
für jedes α ∈ R
{f ≤ α} = � {g ≤ α}∩{g = h} � ⊎ � {f ≤ α}∩{g �= h} �
die Vereinigung einer B(I)-Menge mit einer Teilmenge einer Nullmenge ist, also in
B(I) ∗ (der Lebesgue’schen Vervollständigung von B(I)) liegt. Mithin ist f messbar
bezüglich B(I) ∗ . Nach dem Satz über monotone Konvergenz (Satz 4.20) ist
�
I
�
fdλ= lim gn dλ =
n→∞
I
� b
a
I
f(x) dx. ✷
Beispiel 4.24. Sei f :[0, 1] → R, x ↦→ Q. Dannistfoffenbar nicht Riemannintegrierbar,
weil Un(f) =0und On(f) =1für jedes n ∈ N. Andererseits ist f
Lebesgue-integrierbar mit Integral �
fdλ=0,dennQ∩ [0, 1] ist eine Nullmen-
[0,1]
ge. ✸
I