Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

166 8 Bedingte Erwartungen
Durch das Beispiel motiviert treffen wir die folgende Definition.
Definition 8.2 (Bedingte Wahrscheinlichkeit). Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum
und A ∈A. Dann definieren wir die bedingte Wahrscheinlichkeit
gegeben A für jedes B ∈Adurch
⎧
⎨ P[A ∩ B]
, falls P[A] > 0,
P[B |A] = P[A]
(8.1)
⎩
0, sonst.
Bemerkung 8.3. Die genaue Festsetzung in (8.1) für den Fall P[A] =0ist willkürlich
und unerheblich. ✸
Satz 8.4. Ist P[A] > 0, soistP[ · |A] ein W-Maß auf (Ω,A).
Beweis. Trivial! ✷
Satz 8.5. Seien A, B ∈Amit P[A], P[B] > 0. Dann gilt
A, B sind unabhängig ⇐⇒ P[B |A] =P[B] ⇐⇒ P[A|B] =P[A].
Beweis. Trivial! ✷
Satz 8.6 (Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit).
Sei I eine höchstens abzählbare Menge und (Bi)i∈I paarweise disjunkte Mengen
mit P ��
i∈I Bi
�
=1. Dann gilt für jedes A ∈A
P[A] = �
P[A|Bi] P[Bi]. (8.2)
i∈I
Beweis. Wegen der σ-Additivität von P ist
� �
�
P[A] =P (A ∩ Bi) = �
P[A ∩ Bi] = �
P[A|Bi]P[Bi]. ✷
i∈I
i∈I
Satz 8.7 (Bayes’sche Formel). Sei I eine höchstens abzählbare Menge sowie
(Bi)i∈I paarweise disjunkte Mengen mit P ��
i∈I Bi
�
=1. Dann gilt für jedes
A ∈Amit P[A] > 0 und jedes k ∈ I
i∈I
P[Bk |A] = P[A|Bk] P[Bk]
�
i∈I P[A|Bi] P[Bi]
(8.3)