Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

440 21 Die Brown’sche Bewegung
Nach Wahl von k und wegen der Stationarität der Zuwächse von B gilt
P � �
B ∈ AN ≤ lim
n→∞ P
�
�
≤ lim sup
n→∞
m≥n
AN,m
�
≤ lim sup
n→∞
n P[B ∈ AN,n,1] ≤ N k lim sup
n→∞
P[AN,n] ≤ lim sup
n→∞
n�
i=1
n 1+k(−γ+1/2) =0
P[AN,n,i]
und damit P[B ∈ A] =0. Mithin ist fast sicher B �∈ Hγ. ✷
Übung 21.2.1. Sei B eine Brown’sche Bewegung und λ das Lebesgue-Maß auf
[0, ∞).
(i) Bestimme Erwartungswert und Varianz von � 1
0 Bs ds.(Für die Messbarkeit des
Integrals siehe Übung 21.1.2.)
(ii) Zeige, dass λ � {t : Bt =0} � =0fast sicher gilt.
(iii) Bestimme Erwartungswert und Varianz von
� 1
0
� � 1
0
� 1
Bt −
0
�2 Bs ds dt. ♣
Übung 21.2.2. Sei B eine Brown’sche Bewegung. Zeige, dass auch (B 2 t −t)t≥0 ein
Martingal ist. ♣
Übung 21.2.3. Sei B eine Brown’sche Bewegung und σ > 0. Zeige, dass auch
� �
exp σBt − σ2
2 t�� ein Martingal ist. ♣
t≥0
Übung 21.2.4. Sei B eine Brown’sche Bewegung und a0} dx.
(iii) Die Verteilung von τb hat die Dichte fb(x) = b
√ 2π e −b2 /(2x) x −3/2 . ♣