Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

140 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Für jedes p ∈ [1, ∞] ist N ein Untervektorraum von L p (μ).Wirkönnen also formal
den Quotientenraum bilden. Dies ist das Standardverfahren, um aus einer Pseudonorm,
eine Norm zu machen.
Definition 7.1 (Quotientenraum). Für jedes p ∈ [1, ∞] definieren wir
L p (Ω,A,μ):=L p (Ω,A,μ)/N = { ¯ f := f + N : f ∈L p (μ)}.
Für ¯ f ∈ L p (μ) setzen wir � � ¯ f � �p = �f�p für ein f ∈ ¯ f und � ¯ fdμ= � fdμ, falls
dieser Ausdruck für f definiert ist.
Man beachte, dass � � ¯ f � �p nicht von der Wahl des Repräsentanten f ∈ ¯ f abhängt.
Wir wollen jetzt zunächst die Konvergenz bezüglich � · �p untersuchen und erweitern
dazu den entsprechenden Satz (Satz 6.25) über die Konvergenz bezüglich
� · �1.
Definition 7.2. Seien p ∈ [1, ∞] und f,f1,f2,... ∈Lp n→∞
(μ). Falls �fn − f�p −→
0 gilt, so sagen wir, dass (fn)n∈N im p-ten Mittel gegen f konvergiere und schreiben
L p
−→ f.
fn
Satz 7.3. Seien p ∈ [1, ∞] und f1,f2,...∈L p (μ). Dann sind äquivalent:
(i) Es gibt ein f ∈Lp L
(μ) mit fn
p
−→ f.
(ii) (fn)n∈N ist eine Cauchy-Folge in Lp (μ).
Ist p