Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

378 18 Konvergenz von Markovketten
– auf Grund thermischer Schwankungen ist der Zustand des Systems zufällig und
verteilt nach der so genannten Boltzmann-Verteilung π auf dem Zustandsraum
≥ 0.
E := {−1, 1} Λ ,abhängig von der inversen Temperatur β = 1
T
Wir definieren die lokale Energiefunktion, die das Energieniveau eines Atoms in
i ∈ Λ als Funktion des Zustands x des Gesamtsystems angibt
H i (x) = 1
2
�
j∈Λ: i∼j
{x(i)�=x(j)}.
Hierbei bedeutet i ∼ j, dassi und j Nachbarn sind in Λ (damit meinen wir koordinatenweise
mod N, wir sprechen auch von periodischen Randbedingungen). Die
Gesamtenergie (oder Hamiltonfunktion) des Systems im Zustand x ist die Summe
der Einzelenergien,
H(x) = �
H i (x) = �
i∈Λ
i∼j
{x(i)�=x(j)}.
Die Boltzmann-Verteilung π auf E := {−1, 1} Λ zur inversen Temperatur β ≥ 0
wird definiert durch
π(x) =Z −1
β exp(−βH(x)),
wobei die Zustandssumme Zβ = �
exp(−βH(x)) (oder Partitionsfunktion)
x∈E
die Normierungskonstante ist, die π zu einem W-Maß macht.
Makroskopisch beobachtbar ist nicht jeder einzelne Spin, sondern nur die mittlere
Magnetisierung, die sich als Betrag des Mittelwerts der einzelnen Spins ergibt
mΛ(β) = �
�
�
�
� 1 � �
�
π(x) � x(i) �
�#Λ
� .
x∈E
Wenn wir sehr große Systeme betrachten, sind wir nahe am so genannten thermodynamischen
Limes
m(β) := lim mΛ(β).
Λ↑Zd Man kann mit einem Konturargument, ähnlich wie bei der Perkolation, zeigen (siehe
[119]), dass (für d ≥ 2) eine Zahl βc = βc(d) ∈ (0, ∞) existiert, mit
�
> 0, falls β>βc,
m(β)
(18.13)
=0, falls β