Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

390 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Definition 19.1. Sei A ⊂ E. Eine Funktion f : E → R heißt harmonisch auf
E \ A, falls pf(x) = �
y∈E p(x, y)f(y) existiert und pf(x) =f(x) für jedes
x ∈ E \ A gilt.
Satz 19.2 (Superpositionsprinzip). Sind f und g harmonisch auf E \A und α, β ∈
R, soistauchαf + βg harmonisch auf E \ A.
Beweis. Trivial. ✷
Beispiel 19.3. Sei X transient und a ∈ E ein transienter Zustand (also ein nicht
absorbierender). Dann ist f(x) :=G(x, a) harmonisch auf E \{a}: Für x �= a ist
∞�
pf(x) =p p n ∞�
(x, a) = p n (x, a) =G(x, a) − {a}(x) =G(x, a). ✸
n=0
n=1
Beispiel 19.4. Für jedes x ∈ E sei τx := inf{n >0: Xn = x}. Für A ⊂ E sei
τ := τA := inf
x∈A τx
die Zeit des ersten Eintritts in A. Wir nehmen an, dass A so gewählt ist, dass
Px[τA < ∞] =1für jedes x ∈ E. Seig : A → R eine beschränkte Funktion.
Wir definieren
�
g(x), falls x ∈ A,
f(x) :=
(19.1)
Ex[g(Xτ )], falls x ∈ E \ A.
Dann ist f harmonisch in E \ A. Wir geben hierfür zwei Beweise an.
1. Beweis Nach der Markoveigenschaft ist für x �∈ A und y ∈ E
�
Ex g(Xτ ) � �X1 = y � �
g(y),
=
Ey[g(Xτ )],
�
falls y ∈ A
= f(y).
falls y ∈ E \ A
Also ist für x ∈ E \ A
f(x) =Ex[g(Xτ )] = �
y∈E
�
Ex g(Xτ ); X1 = y �
= � �
p(x, y) Ex g(Xτ ) � �X1 = y � = �
p(x, y) f(y) =pf(x).
y∈E
2. Beweis Wir verändern die Markovkette, indem wir einen Zustand Δ als Falle
hinzufügen. Es gelte also ˜ E = E ∪{Δ} und
⎧
⎪⎨
p(x, y), falls x ∈ E \ A, y �= Δ,
˜p(x, y) =
⎪⎩
0,
1,
falls x ∈ E \ A, y = Δ,
falls x ∈ A ∪{Δ}, y= Δ.
(19.2)
y∈E