Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.5 Zufallsvariablen 45
verallgemeinerte Binomialkoeffizient.) Für r ∈ N ist b − r,p, ähnlich wie im vorangehenden
Beispiel, die Verteilung der Wartezeit auf den r-ten Erfolg bei unabhängigen
Versuchen. Wir werden hierauf in Beispiel 3.4(iv) zurückkommen.
(v) Ist λ ∈ [0, ∞) und X : Ω → N0 mit
−λ λn
P[X = n] =e
n!
für jedes n ∈ N0,
so heißt PX =: Poiλ die Poisson-Verteilung mit Parameter λ.
(vi) Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern S, W, n ∈ N
� �� S W �
HypS,W,n({s}) =
s n−s
� , s ∈{0,...,n}, (1.18)
� S+W
n
gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und W weißen Kugeln
bei n-maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau s schwarze Kugeln zu ziehen.
(vii) Seien μ ∈ R, σ 2 > 0 und X reell mit
P[X ≤ x] =
1
√ 2πσ 2
� x
−∞
(t−μ)2
−
e 2σ2 dt für x ∈ R,
Dann heißt PX =: N μ,σ 2 Gauß’sche Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2 .
(viii) Ist X ≥ 0 reell und θ>0,sowie
P[X ≤ x] =P[X ∈ [0,x]] =
� x
0
θe −θt dt für x ≥ 0,
so heißt PX Exponentialverteilung mit Parameter θ (kurz: exp θ).
(ix) Ist X Rd-wertig, μ ∈ Rd , Σ eine positiv definite d × d Matrix und
P[X ≤ x] = det(2πΣ) −1/2
� �
exp − 1
�
t − μ, Σ
2
−1 ��
(t − μ) λ d (dt)
(−∞,x]
für x ∈ R d (wobei 〈 · , · 〉 das Skalarprodukt im R d bezeichnet), so heißt PX =:
Nμ,Σ die d-dimensionale Normalverteilung mit Parametern μ und Σ. ✸
Definition 1.106. Hat die Verteilungsfunktion F : R n → [0, 1] die Gestalt
F (x) =
� x1
dt1 ···
−∞
� xn
dtn f(t1,...,tn) für x =(x1,...,xn) ∈ R
−∞
n ,
für eine integrierbare Funktion f : R n → [0, ∞), so heißt f die Dichte der Verteilung.