Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 515
Satz 24.16 (Abbildungssatz). Seien E und F lokalkompakte, polnische Räume und
φ : E → F eine messbare Abbildung. Sei μ ∈M(E) mit μ ◦ φ −1 ∈M(F ) und
X ein PPP auf E mit Intensitätsmaß μ. Dann ist X ◦ φ −1 ein PPP auf F mit
Intensitätsmaß μ ◦ φ −1 .
Beweis. Für f ∈B + (F ) ist
� � �
LX◦φ−1(f) =LX(f ◦ φ) =exp e −f(φ(x)) � �
− 1 μ(dx)
� �
�e �� −f(y) −1
=exp
− 1 μ ◦ φ � �
(dy) .
Die Aussage folgt nun aus Satz 24.16 und Satz 24.7. ✷
Satz 24.17. Sei ν ∈ M((0, ∞)) und X ∼ PPPν auf (0, ∞). Setze Y :=
� xX(dx). Dann sind äquivalent
(i) P[Y < ∞] > 0,
(ii) P[Y < ∞] =1,
(iii) � ν(dx) � 1 ∧ x � < ∞.
Gelten (i)–(iii), so ist Y eine unbegrenzt teilbare, nichtnegative Zufallsvariable mit
Lévy-Maß ν.
Beweis. Sei Y∞ = �
[1,∞) xX(dx) und Yt := �
xX(dx) für t ∈ [0, 1). Offen-
(t,1)
bar ist Y = Y0 + Y∞. Außerdem ist offenbar
P[Y∞ < ∞] > 0 ⇐⇒ P[Y∞ < ∞] =1 ⇐⇒ ν([1, ∞)) < ∞. (24.4)
Gilt (iii), so ist E[Y0] = �
(0,1) xν(dx) < ∞, also Y0 < ∞ f.s. (und wegen (24.4)
auch Y < ∞ f.s.). Gilt andererseits (iii) nicht, so ist Y∞ = ∞ f.s. oder E[Y0] =∞.
Während für Y∞ die Erwartung unendlich sein kann, auch wenn Y∞ f.s. endlich
ist, ist dies für Y0 nicht möglich, denn Y0 setzt sich im Gegensatz zu Y∞ nicht aus
wenigen großen, sondern aus vielen kleinen Beiträgen zusammen, sodass ein Gesetz
der großen Zahl gilt. Konkret ist nach Korollar 24.15
�
Var[Yt] = x 2 �
ν(dx) ≤ xν(dx) =E[Yt] < ∞
(t,1)
(t,1)
für jedes t ∈ (0, 1), also nach der Chebyshev’schen Ungleichung
�
P Yt < E[Yt]
�
4 Var[Yt]
≤
2 E[Yt] 2
t→0
−→ 0.
Also ist Y0 =sup t∈(0,1) Yt ≥ E[Y0]/2 =∞ fast sicher.