Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

20 1 Grundlagen der Maßtheorie
(ii) Seien A, B ∈DE mit A ⊃ B.Dannist
μ ((A \ B) ∩ E) =μ(A ∩ E) − μ(B ∩ E)
= ν(A ∩ E) − ν(B ∩ E) =ν ((A \ B) ∩ E) .
Also ist A \ B ∈DE.
(iii) Seien A1,A2,...∈DE paarweise disjunkt sowie A = ∞�
An. Dannist
also A ∈DE.
n=1
n=1
∞�
∞�
μ(A ∩ E) = μ(An ∩ E) = ν(An ∩ E) =ν(A ∩ E),
Offenbar ist E⊂DE, also δ(E) ⊂DE.DaE schnittstabil ist, ist nach Satz 1.19
n=1
A⊃DE ⊃ δ(E) =σ(E) =A.
Also ist DE = A.
Für jedes A ∈Aund E ∈Emit μ(E) < ∞ gilt also μ(A ∩ E) =ν(A ∩ E). Seien
nun E1,E2,...∈Emit En ↑ Ω und μ(En) < ∞ für jedes n ∈ N.Daμund ν von
unten stetig sind, gilt für A ∈A
μ(A) = lim
n→∞ μ(A ∩ En) = lim
n→∞ ν(A ∩ En) =ν(A).
Der Zusatz ist trivial, denn ˜ E := E∪{Ω} ist ebenfalls ein schnittstabiler Erzeuger
von A, und der Wert μ(Ω) =1ist bekannt. Es kann also die konstante Folge En =
Ω, n ∈ N,gewählt werden. Man beachte jedoch, dass es nicht reicht zu fordern, dass
μ endlich ist, weil dann im Allgemeinen die Gesamtmasse μ(Ω) nicht eindeutig
festgelegt ist (siehe Beispiel 1.45(ii)). ✷
Beispiel 1.43. Sei Ω = Z und E = � En : n ∈ Z � , wobei En =(−∞,n] ∩ Z. E
ist schnittstabil und σ(E) =2 Ω . Also ist ein endliches Maß μ auf (Ω,2 Ω ) eindeutig
festgelegt durch die Werte μ(En), n ∈ N.
Ein σ-endliches Maß auf Z ist jedoch durch die Werte auf E noch nicht eindeutig
bestimmt: Sei μ das Zählmaß auf Z und ν =2μ. Dannistμ(E) =∞ = ν(E) für
jedes E ∈E.Umμ und ν zu unterscheiden, brauchen wir also einen Erzeuger, der
Mengen endlichen Maßes (für μ) enthält. Tun es die Mengen ˜ Fn =[−n, n] ∩ Z,
n ∈ N? InderTatistfür jedes σ-endliche Maß μ jetzt μ( ˜ Fn) < ∞ für jedes
n ∈ N. Allerdings erzeugen die ˜ Fn nicht 2 Ω (sondern welche σ-Algebra?). Wir
können aber die Definition so modifizieren: Fn =[−n/2, (n +1)/2] ∩ Z.Dannist
σ({Fn, n∈ N}) =2 Ω , also E = {Fn, n∈ N} ein schnittstabiler Erzeuger von 2 Ω
und μ(Fn) < ∞ für jedes n ∈ N. WegenFn ↑ Ω sind die Bedingungen des Satzes
erfüllt. ✸