Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.3 Die Itô-Formel 539
F (x) =x 2 , so ist die rechte Seite in (25.9) (mit X durch W ersetzt) � t
0 2Ws dWs,
also ein Martingal. Die linke Seite hingegen ist W 2 t , also ein Submartingal, das erst
durch Subtraktion von t zu einem Martingal wird. In der Tat ist dieses fehlende
t der zusätzliche Term, den wir in der Substitutionsformel für Itô-Integrale, der
so genannten Itô-Formel, bekommen. Eine (etwas haarsträubende) Heuristik führt
uns erstaunlicherweise auf die richtige Spur: Für kleine t ist Wt ungefähr von der
Größe √ t. Wenn wir nun formal dWt = √ dt schreiben und für F ∈ C 2 (R) eine
Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung durchführen, so erhalten wir
dF (Wt) =F ′ (Wt) dWt + 1
2 F ′′ (Wt)(dWt) 2 = F ′ (Wt) dWt + 1
2 F ′′ (Wt) dt,
oder als Integral geschrieben
� t
F (Wt) − F (W0) = F
0
′ � t
1
(Ws) dWs +
0 2 F ′′ (Ws) ds. (25.10)
(Für gewisse diskrete Martingale haben wir eine analoge Formel schon in Beispiel
10.9 hergeleitet.) Hauptanliegen dieses Abschnittes ist es zu zeigen, dass diese
Formel, die Itô-Formel für die Brown’sche Bewegung genannt wird, in der Tat korrekt
ist.
Die weitere Diskussion in diesem Abschnitt hängt nicht explizit davon ab, dass
wir bezüglich der Brown’schen Bewegung integrieren, sondern benutzt lediglich,
dass die Funktion, bezüglich der wir integrieren, stetige quadratische Variation hat
(entlang einer geeigneten zulässigen Zerlegungsfolge P = (Pn )n∈N)), für die
Brown’sche Bewegung nämlich 〈W 〉t = t.
Sei im Folgenden also P =(P n )n∈N eine zulässige Zerlegungsfolge (siehe Definition
21.56 für die Definition und die Notation CqV = C P qV , Pn T , Pn S,T , t′ und so
weiter) und X ∈ C([0, ∞)) mit stetiger quadratischer Variation (entlang P)
T ↦→ 〈X〉T = V 2 �
T (X) = lim (Xt ′ − Xt) 2 .
n→∞
t∈PT
Für die Brown’sche Bewegung ist W ∈CP qV fast sicher für jede zulässige Zerlegungsfolge
(Satz 21.64) und 〈W 〉T = T .Für stetige lokale Martingale M kann
man immerhin durch Übergang zu einer geeigneten Teilfolge P ′ von P sicherstellen,
dass M ∈CP′ qV fast sicher gilt (Satz 21.70).
Sei also P fest gewählt und X ∈CqV eine (deterministische) Funktion.
Satz 25.25 (Pfadweise Itô-Formel). Sei X ∈CqV und F ∈ C 2 (R). Dann existiert
für alle T ≥ 0 der Limes
� T
und es gilt die Itô-Formel
0
F ′ (Xs) dXs := lim
n→∞
t∈Pn T
�
F ′ (Xt)(Xt ′ − Xt), (25.11)