Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

�
�
�
�ϕ(t
+ h) −
�
n−1 �
k=0
(ih) k
15.4 Charakteristische Funktion und Momente 301
k! E� e itX X k�� � ��� = hn
n!
�
� E[Yn(t, h, X)] � �
≤ hn E[|X| n ]
n!
n→∞
−→ 0. ✷
Korollar 15.32 (Momentenproblem). Sei X eine reelle Zufallsvariable mit
α := lim sup
n→∞
1
n E� |X| n� 1/n < ∞.
Dann ist die charakteristische Funktion ϕ von X analytisch, und die Verteilung
von X ist durch die Angabe der Momente E[X n ], n ∈ N, eindeutig bestimmt.
Speziell gilt dies, falls E � e t|X|� < ∞ ist für ein t>0.
Beweis. Nach der Stirling’schen Formel ist limn→∞ 1
n! nn e −n√ 2πn = 1.Für
|h| < 1/(3α) gilt daher
lim sup
n→∞
E � |X| n� ·|h| n √
/n! = lim sup 2πn
n→∞
�
E � |X| n� �
1/n
n
·|h|·e/n
√
n
≤ lim sup 2πn(e/3) =0.
n→∞
Die charakteristische Funktion ist also um jeden Punkt t ∈ R in eine Potenzreihe
entwickelbar mit Konvergenzradius mindestens 1/(3α), ist insbesondere also analytisch.
Damit ist sie festgelegt durch die Koeffizienten der Potenzreihe um t =0,
also durch die Momente von X. ✷
Beispiele 15.33. (i) Sei X ∼N μ,σ 2.Dannistfür jedes t ∈ R
E � e tX� = � 2πσ 2� −1/2
� ∞
−∞
= e μt+t2 σ 2 /2 � 2πσ 2� −1/2
= e μt+t2 σ 2 /2 < ∞.
e tx e −(x−μ)2 /2σ 2
dx
� ∞
e
−∞
−(x−μ−tσ2 ) 2 /2σ 2
Also ist die Verteilung von X durch Angabe aller Momente komplett bestimmt. Die
charakteristische Funktion ϕ(t) =e iμt e −σ2 t 2 /2 , die wir durch die obige Rechnung
mit it statt t erhalten, ist in der Tat analytisch.
(ii) Sei X exponentialverteilt mit Parameter θ>0. Dannistfür t ∈ (0,θ)
E[e tX ]=θ
� ∞
0
e tx e −θx dx = θ
< ∞.
θ − t
Also ist die Verteilung von X durch Angabe aller Momente bestimmt. Die selbe
Rechnung mit it statt t liefert ϕ(t) =θ/(θ − it), und diese Funktion ist in der Tat
dx