Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

298 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Bemerkung 15.26. Tatsächlich ist ϕα,r auch für α ∈ (0, 2] eine charakteristische
Funktion (für α = 2 die der Normalverteilung), siehe Kapitel 16.2. Die Verteilungen
μα,r haben die Eigenschaft α-stabil zu sein (siehe Definition 16.20): Sind
X1,X2,...,Xn unabhängig und μα,a-verteilt, so ist ϕX1+...+Xn (t) =ϕX(t) n =
ϕX(n1/α D
t), also X1 + ...+ Xn = n1/αX1. ✸
Wir haben mit dem Satz von Stone-Weierstraß gesehen, dass charakteristische Funktionen
Verteilungen eindeutig bestimmen. Der Satz von Pólya bietet eine hinreichende
Bedingung dafür, dass eine symmetrische reelle Funktion eine charakteristische
Funktion ist. Dass diese Bedingung nicht notwendig ist, sieht man schon daran,
dass die charakteristische Funktion der Normalverteilung sie nicht erfüllt. Wir geben
nun, gewissermaßen zur Allgemeinbildung und ohne Beweis, den Satz von Bochner
an, der eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür formuliert, dass eine
Funktion ϕ : R d → C die charakteristische Funktion eines W-Maßes ist.
Definition 15.27. Eine Funktion f : R d → C heißt positiv semidefinit, falls für
jedes n ∈ N und alle t1,...,tn ∈ R d sowie y1,...,yn ∈ C gilt
n�
yk ¯yl f(tk − tl) ≥ 0,
k,l=1
mit anderen Worten, falls die Matrix (f(tk − tl))k,l=1,...,n positiv semidefinit ist.
Lemma 15.28. Ist μ ∈Mf (R d ) mit charakteristischer Funktion ϕ, soistϕ positiv
semidefinit.
Beweis. Es gilt
n�
yk ¯yl ϕ(tk − tl) =
k,l=1
n�
k,l=1
yk ¯yl
�
�n
=
k,l=1
� �
���
n�
=
k=1
�
e ix(tk−tl) μ(dx)
yk e ixtk yl e ixtl μ(dx)
yk e ixtk
Der folgende Satz geht im Falle d =1auf Bochner (1932) zurück.
�2
�
�
� μ(dx) ≥ 0. ✷
Satz 15.29 (Bochner). Eine stetige Funktion f : R d → C ist genau dann die
charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf R d ,wennf
positiv semidefinit ist und f(0) = 1 gilt.
Die Aussage gilt ebenfalls, wenn wir R d durch eine lokalkompakte, abelsche Gruppe
ersetzen.