Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

496 23 Große Abweichungen
Beweis. Summe und Maximum unterscheiden sich höchstens um den Faktor N:
max
i=1,...,N ε log(ai ε) ≤ ε log
N�
i=1
Maximum und Limes (superior) vertauschen, also ist
max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i �
ε) = lim sup ε log
ε→0
� �N
�
ε log
≤ lim sup
ε→0
≤ lim sup
ε→0
a i ε ≤ ε log(N) + max
i=1,...,N ε log(ai ε).
max
i=1,...,N ai ε
i=1
a i ε
�
ε log(N)+ max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i ε)
= max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i ε). ✷
Beispiel 23.10. Wir nehmen an, dass die Bedingungen aus dem Satz von Cramér
(Satz 23.3) gelten. Es seien also X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
Λ(t) =log(E[etX1 ]) < ∞ für jedes t ∈ R. Ferner sei Sn = X1 + ...+ Xn für
jedes n. Wir wollen zeigen, dass aus dem Satz von Cramér folgt, dass Pn := PSn/n ein LDP mit Rate n und guter Ratenfunktion I(x) =Λ∗ (x) :=supt∈R(tx − Λ(t))
erfüllt. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass E[X1] =0ist. Die Funktion
I ist überall endlich, stetig, strikt konvex und hat die eindeutige Minimalstelle bei
I(0) = 0. Der Satz von Cramér besagt, dass limn→∞ 1
n log(Pn([x, ∞))) = −I(x)
für x>0 und (aus Symmetriegründen) limn→∞ 1
n log(Pn((−∞,x])) = −I(x) für
x0
1
−I(x) ≥ lim
n→∞
≥ sup lim
ε>0 n→∞
n log Pn((x, ∞))
1
n log Pn([x + ε, ∞)) = − inf I(x + ε) =−I(x)
ε>0
1
und für x