Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

190 9 Martingale
Beispiel 9.31. Wir betrachten die Situation des vorangehenden Beispiels, jedoch mit
E[Yt] =1und Xt = �t s=1 Ys für t ∈ N0. Nach Satz 5.4 ist Y1 · Y2 integrierbar.
Iterativ erhalten wir E[|Xt|] < ∞ für jedes t ∈ N0. Offenbar ist X an F adaptiert,
und für s ∈ N0 gilt
�
�
�
E[Xs+1 �Fs] = E[XsYs+1 �Fs] = Xs E[Ys+1 �Fs] = Xs.
Also ist X ein F-Martingal. ✸
Satz 9.32. (i) X ist genau dann ein Supermartingal, wenn (−X) ein Submartingal
ist.
(ii) Seien X und Y Martingale und a, b ∈ R. Dann ist (aX + bY ) ein Martingal.
(iii) Seien X und Y Supermartingale und a, b ≥ 0. Dann ist (aX + bY ) ein
Supermartingal.
(iv) Seien X und Y Supermartingale. Dann ist Z := X ∧ Y =(min(Xt,Yt))t∈I
ein Supermartingal.
(v) Ist (Xt)t∈N0 ein Supermartingal und E[XT ] ≥ E[X0] für ein T ∈ N0, dann
ist (Xt) t∈{0,...,T } ein Martingal. Gibt es eine Folge TN →∞mit E[XTN ] ≥
E[X0], dann ist X ein Martingal.
Beweis. (i), (ii) und (iii) Dies ist klar.
(iv) Wegen |Zt| ≤ |Xt| + |Yt| ist E[|Zt|] < ∞ für jedes � t ∈ I. Wegen � der
Monotonie der bedingten Erwartung (Satz 8.14(ii)) ist E[Zt
�Fs] ≤ E[Xt
�
� �
�
Fs] ≤
Xs für t>sund E[Zt
�Fs] ≤ E[Yt
�Fs] ≤ Ys, also E[Zt
�Fs] ≤ Xs ∧ Ys = Zs.
�
(v) Für t ≤ T setze Yt := E[XT
�Ft]. DannistYein Martingal und Yt ≤ Xt.
Daher ist
E[X0] ≤ E[XT ]=E[YT ]=E[Yt] ≤ E[Xt] ≤ E[X0].
(Die erste Ungleichung gilt hierbei nach Voraussetzung.) Es folgt Yt = Xt fast
sicher für jedes t, und daher ist (Xt) t∈{0,...,T } ein Martingal.
Sei TN →∞mit E[XTN ] ≥ E[X0] für� jedes N ∈ N. Dann gibt es für t>s≥ 0
ein N ∈ N mit TN >t. Daher ist E[Xt
�Fs] =E[Xs], also X ein Martingal. ✷
Bemerkung 9.33. Viele Aussagen über Supermartingale gelten mutatis mutandis
auch für Submartingale. So gilt im vorangehenden Satz Aussage (i) mit vertauschten
Rollen, Aussage (iv) gilt für Submartingale, wenn das Minimum durch ein Maximum
ersetzt wird, und so fort. Wir geben die Aussagen nicht stets sowohl für Submartingale
wie für Supermartingale an, sondern wählen pars pro toto einen Fall aus.
Man beachte aber, dass die Aussagen, die explizit über Martingale gemacht werden,
nicht ohne weiteres auf Sub- oder Supermartingale übertragen werden können (vergleiche
etwa (ii) im vorangehenden Satz). ✸