Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
definiert ist und damit auch nur genau eine stetige Funktion ϕ 1/n = exp(log(ϕ)/n)
existiert. Die n-ten Faltungswurzeln sind also eindeutig definiert, falls die Verteilung
unbegrenzt teilbar ist.
Beispiele 16.2. (i) δx ist unbegrenzt teilbar mit δ ∗n
x/n = δx für jedes n ∈ N.
(ii) Die Normalverteilung ist unbegrenzt teilbar mit N m,σ 2 = N ∗n
m/n,σ 2 /n .
(iii) Die Cauchy-Verteilung Caua mit Dichte x ↦→ (aπ) −1 (1 + (x/a) 2 ) −1 ist
unbegrenzt teilbar mit Caua =Cau ∗n
a/n. In der Tat: Caua hat CFW ϕa(t) =e−a|t| ,
also ist ϕn a/n = ϕa.
(iv) Jede symmetrische stabile Verteilung mit Index α ∈ (0, 2] und Größenparameter
γ>0, also mit CFW ϕα,γ(t) =e−|γt|α, ist unbegrenzt teilbar. In der Tat
ist ϕn α,γ/n1/α = ϕα,γ. (Genau genommen haben wir bislang erst für α ∈ (0, 1] (in
Korollar 15.25) und für α =2(Normalverteilung) gezeigt, dass ϕα,γ überhaupt
eine CFW ist. In Abschnitt 16.2 zeigen wir, dass dies tatsächlich für alle α ∈ (0, 2]
richtig ist. Für α>2 ist ϕα,γ hingegen keine CFW, siehe Übung 15.4.3.)
(v) Die Gamma-Verteilung Γθ,r mit CFW ϕθ,r(t) =exp(rψθ(t)), woψθ(t) =
log(1 − it/θ) ist, ist unbegrenzt teilbar mit Γθ,r = Γ ∗n
θ,r/n .
(vi) Die Poisson-Verteilung ist unbegrenzt teilbar mit Poiλ =Poi ∗n
λ/n.
(vii) Die negative Binomialverteilung b− � �
−r
r,p({k}) = (−1)
k
kpr (1 − p) k , k ∈
N0, mit Parametern r > 0 und p ∈ (0, 1) ist unbegrenzt teilbar mit b− r,p
(b
=
−
r/n,p )∗n .InderTatistϕr,p(t) =erψp(t) ,wo
ψp(t) =log(p) − log(1 − (1 − p)e it ).
(viii) Seien X und Y unabhängig und X ∼ N 0,σ 2 sowie Y ∼ Γθ,r, wobei
σ 2 ,θ,r > 0 sind. Man kann zeigen, dass die Zufallsvariable Z := X/ √ Y unbegrenzt
teilbar ist (siehe [64] oder [123]). Insbesondere ist die Student’sche t-
Verteilung mit k ∈ N Freiheitsgraden unbegrenzt teilbar (dieses ist der Fall σ 2 =1
und θ −1 = r = k).
(ix) Die Binomialverteilung bn,p ist für n ∈ N und p ∈ (0, 1) nicht unbegrenzt
teilbar (warum?).
(x) Etwas allgemeiner ist außer der trivialen Verteilung keine Verteilung unbegrenzt
teilbar, die auf ein endliches Intervall konzentriert ist. ✸
Ein Hauptziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, dass sich jede unbegrenzt teilbare
Verteilung aus drei generischen zusammensetzt: