Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

144 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Beweis. ” (ii) =⇒ (iii) ⇐⇒ (iv)“ Dies ist klar.
” (iii) =⇒ (i)“ Das Supremum konvexer Funktionen ist konvex, und jede affin
lineare Funktion ist konvex. Also ist sup L(ϕ) konvex, falls L(ϕ) �= ∅.
” (i) =⇒ (ii)“ Nach Satz 7.7(iii) ist für jedes x0 ∈ I die Abbildung x ↦→ ϕ(x0)+
(x − x0)D + ϕ(x0) in L(ϕ). ✷
Satz 7.9 (Jensen’sche Ungleichung). Sei I ⊂ R ein Intervall und X eine Zufallsvariable
mit Werten in I und E[|X|] < ∞.Istϕ konvex, dann gilt E[ϕ(X) − ] < ∞
und
E[ϕ(X)] ≥ ϕ(E[X]).
Beweis. Da nach Korollar 7.8(iii) L(ϕ) �= ∅ ist, können wir a, b ∈ R so wählen,
dass ax + b ≤ ϕ(x) gilt für alle x ∈ I. Es ist dann
E[ϕ(X) − ] ≤ E[(aX + b) − ] ≤|b| + |a|·E[|X|] < ∞.
Wir unterscheiden die Fälle, wo E[X] im Inneren I◦ oder am Rand ∂I liegt.
1. Fall Ist E[X] ∈ I◦ ,soseit + := D + ϕ(E[X]) die maximale Tangentensteigung
von ϕ in E[X]. Dannistϕ(x) ≥ t + · (x − E[X]) + ϕ(E[X]) für jedes x ∈ I, also
E[ϕ(X)] ≥ t + E[X − E[X]] + E[ϕ(E[X])] = ϕ(E[X]).
2. Fall Ist E[X] ∈ ∂I, soistX = E[X] f.s., also E[ϕ(X)] = E[ϕ(E[X])] =
ϕ(E[X]). ✷
Die Jensen’sche Ungleichung lässt sich auf den R n ausweiten. Hierfür benötigen
wir eine Darstellung konvexer Funktionen mehrerer Veränderlicher als Supremum
von affin linearen Funktionen. Dabei heißt eine Funktion g : R n → R affin linear,
wenn es ein a ∈ R n und ein b ∈ R gibt mit g(x) =〈a, x〉 + b für jedes x. Hierbei
bezeichnet 〈 · , · 〉 das gewöhnliche Skalarprodukt auf R n .
Satz 7.10. Sei G ⊂ R n offen und konvex und ϕ : G → R eine Abbildung. Dann gilt
Korollar 7.8 sinngemäß mit I = G. Istϕ konvex, so ist ϕ stetig und insbesondere
messbar. Ist ϕ zweimal stetig differenzierbar, so ist ϕ genau dann konvex, wenn die
Hesse-Matrix positiv semidefinit ist.
Beweis. Da wir die Aussagen nur für den Beweis der mehrdimensionalen Jensen’schen
Ungleichung benötigen, die aber im weiteren Verlaufe keine tragende
Bedeutung hat, geben wir nur die Literatur an: Im Buch von Rockafellar [138] folgt
die Stetigkeit aus Theorem 10.1, die Aussage von 7.8 aus Theorem 12.1 beziehungsweise
Theorem 18.8. Die Aussage über die Hesse-Matrix steht in Theorem 4.5. ✷