Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

302 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
analytisch. Der Umstand, dass ϕ im Komplexen eine Singularität bei t = −iθ hat,
impliziert, dass die Potenzreihe von ϕ um 0 den Konvergenzradius θ hat. Insbesondere
folgt hieraus, dass nicht alle exponentiellen Momente existieren können. Dies
wird reflektiert durch die obige Rechnung, die zeigt, dass für t ≥ θ keine exponentiellen
Momente existieren.
(iii) Sei X log-normalverteilt (siehe Beispiel 15.5). Dann ist E[X n ] = e n2 /2 .
Speziell ist in diesem Fall α = ∞. Tatsächlich hatten wir in Beispiel 15.5 gesehen,
dass die Momente in diesem Fall nicht die Verteilung von X bestimmen.
(iv) Hat X Werte in N0 und gilt β := lim supn→∞ E[Xn ] 1/n < 1, so gilt nach
den Hadamard-Kriterium ψX(z) := �∞ k=1 P[X = k] zk < ∞ für |z| < 1/β.
Speziell ist die Erzeugendenfunktion von X durch die Ableitungen ψ (n)
X (1), n ∈ N,
und damit durch die Momente von X eindeutig festgelegt. Vergleiche Satz 3.2(iii).
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Satz 15.34. Sei X eine reelle Zufallsvariable und ϕ die charakteristische Funktion
von X. Sein ∈ N, und ϕ sei 2n-mal differenzierbar in 0 mit Ableitung ϕ (2n) (0).
Dann gilt E[X 2n ]=ϕ (2n) (0) < ∞.
Beweis. Wir führen den Beweis per Induktion nach n ∈ N0. Für n =0ist die
Aussage trivialerweise richtig. Sei nun n ∈ N, und ϕ sei 2n-mal differenzierbar in
0. Wir setzen u(t) =Re(ϕ(t)). Dannistuebenfalls 2n-mal differenzierbar in 0
und u (2k−1) (0) = 0 für k =1,...,n, weil u gerade ist. Da ϕ (2n) (0) existiert, ist
ϕ (2n−1) stetig in 0 und ϕ (2n−1) (t) existiert für t ∈ (−ε, ε) für gewisses ε>0.
Ferner existiert dann ϕ (k) in (−ε, ε) und ist dort stetig für jedes k =0,...,2n − 2.
Nach der Taylorformel gilt also für jedes t ∈ (−ε, ε)
�
� n−1
�
�
�u(t)
−
�
k=0
�
�
�
�
(2k)! �
u (2k) (0) t2k
≤ |t|2n−1
(2n − 1)!
sup
θ∈(0,1]
�
�
�u (2n−1) �
�
(θt) � . (15.5)
Wir definieren eine stetige Funktion fn : R → [0, ∞) durch fn(0) = 1 und für
x �= 0
fn(x) =(−1) n (2n)! x −2n
�
�
n−1 �
k x2k
cos(x) − (−1) .
(2k)!
Nach Induktionsvoraussetzung ist E[X 2k ]=u (2k) (0) für jedes k =1,...,n− 1.
Es folgt mit (15.5)
E � fn(tX) X 2n� ≤ 2n
|t|
k=0
sup |u
θ∈(0,1]
(2n−1) (θt)| ≤gn(t) :=2n sup
θ∈(0,1]
Mit dem Lemma von Fatou folgt
E � X 2n� = E � fn(0)X 2n� ≤ lim inf
t→0 E�fn(tX)X 2n�
≤ lim inf
t→0 gn(t) =2n � � u (2n) (0) � � < ∞.
|u (2n−1) (θt)|
.
θ |t|