Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

180 8 Bedingte Erwartungen
Ein separabler topologischer Raum, dessen Topologie durch eine vollständige Metrik
erzeugt wird, heißt polnischer Raum. Speziell sind R d , Z d , R N , (C([0, 1]), � ·
�∞) und so fort polnisch. Abgeschlossene Teilmengen von polnischen Räumen sind
ebenfalls polnisch. Wir kommen auf polnische Räume im Zusammenhang mit der
Konvergenz von Maßen in Kapitel 13 zurück. Ohne Beweis bringen wir das folgende
topologische Ergebnis (siehe etwa [37, Theorem 13.1.1]).
Satz 8.35. Ist E ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E, dann ist (E,E)
ein Borel’scher Raum.
Satz 8.36 (Reguläre bedingte Verteilungen). Sei F⊂Aeine Unter-σ-Algebra.
Sei Y eine Zufallsvariable mit Werten in einem Borel’schen Raum (E,E) (also
zum Beispiel E polnisch, E = R d , E = R ∞ , E = C([0, 1]) usw.). Dann existiert
eine reguläre Version κY,F der bedingten Verteilungen P[{Y ∈ · }|F].
Beweis. Sei B ∈ B(R) und ϕ : E → B ein Messraum-Isomorphismus. Mit
Satz 8.28 erhalten wir die regulären bedingten Verteilungen κY ′ ,F der reellen Zufallsvariablen
Y ′ = ϕ ◦ Y . Wir setzen nun κY,F(ω, A) = κY ′ ,F(ω, ϕ(A)) für
A ∈E. ✷
Abschließend greifen wir das eingangs betrachtete Beispiel wieder auf und können
nun die dort in Anführungszeichen gemachte Aussage formal hinschreiben. Sei also
X uniform auf [0, 1] verteilt, und gegeben den Wert X = x seien (Y1,...,Yn)
unabhängig Berx–verteilt. Wir setzen Y =(Y1,...,Yn). Nach Satz 8.36 (mit E =
{0, 1} n ⊂ R n ) existieren die regulären bedingten Verteilungen
κY,X(x, · )=P[Y ∈ · |X = x] für x ∈ [0, 1].
In der Tat ist für fast alle x ∈ [0, 1]
P[Y ∈ · |X = x] =(Berx) ⊗n .
Satz 8.37. Sei X ein Zufallsvariable auf (Ω,A, P) mit Werten in einem Borel’schen
Raum (E,E). SeiF ⊂ A eine σ-Algebra und κX,F eine Version der regulären
bedingten Verteilungen von X gegeben F. Sei ferner f : E → R messbar und
E[|f(X)|] < ∞. Dann ist
�
E[f(X)|F](ω) = f(x) κY,F(ω, dx) für P-fast alle ω. (8.10)
Beweis. Wir rechnen nach, dass die rechte Seite in (8.10) die Eigenschaften des
bedingten Erwartungswertes hat.
Es reicht, den Fall f ≥ 0 zu betrachten. Indem wir f durch Elementarfunktionen
approximieren, sehen wir, dass die rechte Seite in (8.10) messbar bezüglich F ist