Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

64 2 Unabhängigkeit
Beweis. Sei X∗ := lim inf
n→∞ Xn. Für jedes x ∈ R ist {X∗ ≤ x} ∈T((Xn)n∈N),
also P[X∗ ≤ x] ∈{0, 1}. Setze
Ist x∗ = ∞, so ist offenbar
x∗ := inf{x ∈ R : P[X∗ ≤ x] =1}∈R.
P[X∗ < ∞] = lim
n→∞ P[X∗ ≤ n] =0.
Ist x∗ ∈ R, soist
P[X∗ ≤ x∗] = lim
n→∞ P
�
X∗ ≤ x∗ + 1
�
=1
n
und
P[X∗ −∞] = lim
n→∞ P[X∗ > −n] =0.
Für den Limes superior sowie für die Cesàro-Limiten geht dies analog. ✷
Übung 2.3.1. Man zeige: Ist (Xn)n∈N eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen
mit P[Xn = −1] = P[Xn = +1] = 1
2 , und ist Sn = X1 + ...+ Xn für jedes
n ∈ N, soistlim supn→∞ Sn = ∞ fast sicher. ♣
2.4 Beispiel: Perkolation
Wir betrachten das d-dimensionale Gitter Z d , wobei jeder Punkt durch je eine Kante
mit seinen 2d nächsten Nachbarpunkten verbunden ist. Sind x, y ∈ Z d nächste
Nachbarn, das heißt �x − y�2 = 1, so schreiben wir k = 〈x, y〉 = 〈y, x〉 für
die Kante, die x und y verbindet. Formal ist die Kantenmenge eine Teilmenge der
zweielementigen Teilmengen von Z d :
K = � {x, y} : x, y ∈ Z d mit�x − y�2 =1 � .
Etwas allgemeiner ist ein (ungerichteter) Graph G ein Paar G =(V,K), wobei
V eine Menge ist (die Menge der Knoten oder Punkte des Graphen) und K ⊂
{{x, y} : x, y ∈ V, x �= y} eine Teilmenge aller zweielementigen Teilmengen von
V (die Menge der Kanten).
Da wir unter einer Kante intuitiv eine Verbindung zwischen zwei Punkten x und
y verstehen (und nicht das ungeordnete Paar {x, y}), verwenden wir ein anderes
Symbol als die Mengenklammern und schreiben 〈x, y〉 statt {x, y}.