Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

328 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Asymmetrische stabile Verteilungen
Sind μ1 und μ2 unbegrenzt teilbar mit den kanonischen Tripeln (σ2 1,b1,ν1) und
(σ2 2,b2,ν2),soistμ1∗μ2 unbegrenzt teilbar mit kanonischem Tripel (σ2 1 + σ2 2,b1 +
b2,ν1+ν2). Ist nun μ unbegrenzt teilbar mit kanonischem Tripel (σ2 ,b,ν), und sind
X1,X2,...u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilung μ,soistX1 +...+Xn unbegrenzt
teilbar mit kanonischem Tripel (nσ2 , nb, nν). Andererseits ist n1/αX1 unbegrenzt
teilbar mit kanonischem Tripel (n2/ασ2 ,n1/αb, ν ◦ m −1
n1/α), wobei mγ : R → R,
x ↦→ γx die Multiplikation mit γ>0 ist.
Ist nun μ stabil mit Index α, so folgt aus (16.17)
nb = n 1/α b, nσ 2 = n 2/α σ 2
und nν = ν ◦ m −1
n1/α. Ist α �= 1, so folgt b =0.Für α ∈ (0, 2) ist hingegen σ2 =0. Außerdem ist
� ∞
n (1∧x
−∞
2 � ∞
) ν(dx) = (1∧x
−∞
2 ) � ν ◦m −1
n1/α Im Fall α =2folgt wegen 1 ≥ n−1 (1∧nx 2 )
1∧x2 � (dx) =
� ∞
−∞
(1∧n 2/α x 2 ) ν(dx).
n→∞
−→ 0 für alle x �= 0und wegen
(16.10) mit dem Satz über majorisierte Konvergenz
� ∞
� ∞
(1 ∧ x
−∞
2 n
) ν(dx) =
−∞
−1 (1 ∧ nx2 )
1 ∧ x2 Das heißt, es gilt ν =0, falls α =2 ist.
(1 ∧ x 2 ) ν(dx) n→∞
−→ 0.
Hat ν eine auf R\{0} stetige Dichte f, so folgt aus (16.17) die Skalierungsrelation
f(rx) =r −α−1 f(x) für jedes r>0, also mit c − := f(−1) und c + := f(1)
ν(dx)
dx =
� c − (−x) −α−1 , falls x0.
Wir haben also einen Freiheitsgrad mehr (in dem Sinne, dass wir jetzt die zwei
Parameter c − und c + statt nur c haben), wenn wir auch asymmetrische stabile
Verteilungen zulassen. Wir können nun ψ ausrechnen
ψ(t) =
� |t| α Γ (−α) � (c + + c − )cos � πα
2
� + i (c + − c − )sin � πα
2
�� , α �= 1,
−|t|(c + + c − ) � π
2 + i sign(t)(c+ − c − )log(|t|) � , α =1.
(16.18)
Im Fall α ∈ (0, 1) ∪ (1, 2) haben wir so eine stabile Verteilung hergestellt, denn es
gilt (16.17). Im Fall α =1gilt hingegen nψ(t/n) =ψ(t)+it(c + − c − )logn, also
X1 + ...+ Xn
D
= nX1 +(c + − c − ) n log(n).
Man kann zeigen, dass die stabilen Verteilungen, die wir hier hergestellt haben,
tatsächlich die gesamte Klasse der im weiteren Sinne stabilen Verteilungen ausschöpfen
(siehe etwa [53, Kapitel XVII.5]).