Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

268 14 W-Maße auf Produkträumen
(iii) Sind A1,A2,... ∈Dpaarweise disjunkt und A := �∞ n=1 An,
�
soistI = A
∞
n=1 I messbar, also A ∈D.
An
Nun ist D also ein Dynkin-System, das den schnittstabilen Erzeuger aller Rechteckmengen
in A1 ⊗A2 enthält, also ist (nach Satz 1.19) D = A1 ⊗A2. Mithin
ist I A messbar für jedes A ∈ A1 ⊗A2. Es folgt, dass Ig messbar ist für
jede Elementarfunktion. Sei nun (fn)n∈N eine Folge von Elementarfunktion mit
fn ↑ f.Für jedes feste ω1 ∈ Ω1 gilt nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
If (ω1) = limn→∞ Ifn (ω1), und If ist als Limes messbarer Funktionen messbar. ✷
Bemerkung 14.21. Wir schreiben im Folgenden oft � κ(ω1,dω2) f(ω1,ω2) statt
� f(ω1,ω2) κ(ω1,dω2), denn bei Mehrfachintegralen erlaubt diese Notation es, den
Integrator näher an das betreffende Integralzeichen heran zu rücken. ✸
Satz 14.22. Seien (Ωi, Ai), i = 0, 1, 2, Messräume und κ1 ein endlicher Übergangskern
von (Ω0, A0) nach (Ω1, A1) sowie κ2 ein endlicher Übergangskern von
(Ω0 × Ω1, A0 ⊗A1) nach (Ω2, A2). Dann ist die Abbildung
κ1 ⊗ κ2 : Ω0 × (A1 ⊗A2) → [0, ∞)
�
�
(ω0,A) ↦→ κ1(ω0,dω1)
Ω1
Ω2
κ2((ω0,ω1),dω2) A((ω1,ω2))
wohldefiniert und ist ein σ-endlicher (aber nicht notwendig endlicher) Übergangskern
von (Ω0, A0) nach (Ω1 × Ω2, A1 ⊗A2). Sindκ1 und κ2 (sub-)stochastisch,
so ist κ1 ⊗ κ2 (sub-)stochastisch. Wir nennen κ1 ⊗ κ2 das Produkt von κ1 und κ2.
Ist κ2 ein Kern von (Ω1, A1) nach (Ω2, A2), sodefinieren wir das Produkt κ1 ⊗
κ2 analog, indem wir κ2 einfach formal als Kern von (Ω0 × Ω1, A0 ⊗A1) nach
(Ω2, A2) auffassen, der nicht von der Ω0-Koordinate abhängt.
Beweis. Sei A ∈A1⊗A2. Die Abbildung
�
gA :(ω0,ω1) ↦→ κ2((ω0,ω1),dω2) A(ω1,ω2)
ist nach Lemma 14.20 wohldefiniert und messbar bezüglich A0 ⊗A1. Daher ist,
wiederum nach Lemma 14.20, die Abbildung
�
ω0 ↦→ κ1 ⊗ κ2(ω0,A)= κ1(ω0,dω1) gA(ω0,ω1)
wohldefiniert und A0-messbar. Für festes ω0 ist nach dem Satz über monotone Konvergenz
die Abbildung A ↦→ κ1 ⊗ κ2(ω0,A) σ-additiv, also ein Maß.
Für ω0 ∈ Ω0 und n ∈ N sei Aω0,n := {ω1 ∈ Ω1 : κ2((ω0,ω1),Ω2) < n}.
Da κ2 endlich ist, gilt �
n≥1 Aω0,n = Ω1 für jedes ω0 ∈ Ω0, und es gilt κ1 ⊗
κ2(ω0,An × Ω2) ≤ n · κ1(ω0,An) < ∞. Alsoistκ1 ⊗ κ(ω0, · ) σ-endlich und
damit ein Übergangskern.
Der Zusatz ist trivial. ✷