Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

414 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Definition 19.35. Der Prozess X heißt heißt Irrfahrt in der zufälligen Umgebung
W (random walk in random environment).
Seien ϱi := W − +
i /W i für i ∈ Z und R −
W
und R+
W
wie oben definiert.
Satz 19.36. (i) Gilt E[log(ϱ0)] < 0,sogiltXn n→∞
−→ ∞ f.s.
(ii) Gilt E[log(ϱ0)] > 0,sogiltXn n→∞
−→ −∞ f.s.
(iii) Gilt E[log(ϱ0)] = 0,sogiltlim inf
n→∞ Xn = −∞ und lim sup Xn = ∞ f.s.
n→∞
Beweis. (i) und (ii) Aus Symmetriegründen reicht es, (ii) zu zeigen. Sei also c :=
E[log(ϱ0)] > 0. Nach dem starken Gesetz der großen Zahl gibt es ein n − 0 = n− 0 (ω)
mit
Es folgt
1�
k=−n
R −
W =
n=1
ϱ −1
k =exp
�
−
∞�
1�
k=−n
ϱ −1
k ≤
1�
k=−n
n −
0 −1
�
n=1
Analog gibt es ein n + 0 = n+ 0 (ω) mit
Es folgt
R +
W =
∞�
n�
k=0
n�
ϱk ≥
n=0 k=0
ϱk >e cn/2
�
log(ϱi) −∞ und lim supn→∞ k=−n log(ϱ−1 k ) > −∞
fast sicher, wenn E[log(ϱ0)] = 0 gilt. Wenn log(ϱ0) von endlicher Varianz ist,
folgt dies aus dem Zentralen Grenzwertsatz. Im allgemeinen Fall folgt dies aus
Satz 20.21. ✷