Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

432 21 Die Brown’sche Bewegung
und � N := �
r∈� I Nr. Nach (i) gilt P[ � N]=0. Weiter gilt für jedes t ∈ I
Nt ∩ R ⊂ �
(Nr ∩ R) ⊂ � N.
Also gilt
¯N ⊂ R c ∪ �
r≥t, r∈ � I
t∈I
Nt ⊂ R c ∪ � N =: N,
und damit P[N] ≤ P[R c ]+P[ � N]=0. ✷
Wir kommen zum Hauptsatz dieses Abschnitts.
Satz 21.6 (Kolmogorov-Chentsov). Sei X =(Xt, t∈ [0, ∞)) ein reellwertiger
Prozess. Für jedes T>0 gebe es Zahlen α, β, C > 0 mit
Dann gelten:
E [|Xt − Xs| α ] ≤ C|t − s| 1+β
für alle s, t ∈ [0,T]. (21.2)
(i) Es existiert eine Modifikation � X =( � Xt, t∈ � [0, ∞)) von X, die lokal Hölderstetige
Pfade hat von jeder Ordnung γ ∈ 0, β
�
α .
�
(ii) Sei γ ∈ 0, β
�
α . Zu jedem ε>0 und T 0 sind dann nach Lemma 21.5 die Prozesse X S und
X T ununterscheidbar auf [0,S∧ T ], also ist
ΩS,T :=
�
es gibt ein t ∈ [0,S∧ T ] mit X T t �= X S t
eine Nullmenge, und damit ist auch Ω∞ := �
S,T ∈N
˜Xt(ω) :=Xt t (ω) für ω ∈ Ω \ Ω∞, und ˜ X ist eine stetige Modifikation von X.
�
ΩS,T eine Nullmenge. Mithin ist
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei T =1. Wir zeigen, dass X eine auf [0, 1]
stetige Modifikation besitzt. Die Chebyshev’sche Ungleichung liefert für ε>0
also
P [|Xt − Xs| ≥ε] ≤ Cε −α |t − s| 1+β
(21.4)