Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung 549
�
1,
f(x) =
0,
falls �x� = r,
falls �x� = R.
(25.24)
Sei ur,R : Gr,R → R definiert durch
V (�x�) − V (R)
ur,R(x) =
V (r) − V (R) ,
wobei V :(0, ∞) → R die Newton’sche Potentialfunktion ist
⎧
⎪⎨
s, falls d =1,
V (s) =Vd(s) = log(s),
⎪⎩
−s
falls d =2,
2−d , falls d>2.
(25.25)
Man prüft leicht nach, dass ϕ : Rd \{0} →R, x ↦→ Vd(�x�) harmonisch ist (also
△ ϕ ≡ 0 erfüllt). Also ist ur,R die Lösung des Dirichlet-Problems auf Gr,R mit
Randwert f. Nach Satz 25.37 ist für x ∈ Gr,R
� � �
Px τr,R = τr = Px �Wτr,R� = r� �
= Ex f(Wτr,R )� = ur,R(x). (25.26)
Satz 25.39. Für r>0 und x, y ∈ Rd mit �x − y� >r gilt
�
Px Wt ∈ Br(y) für ein t>0 � ⎧
⎨
1, falls d ≤ 2,
= � �2−d ⎩ �x−y�
r , falls d>2.
Beweis. Ohne Einschränkung sei y =0.Dannist
Px[τr < ∞] = lim
R→∞ Px[τr,R
V (�x�) − V (R)
= τr] = lim
R→∞ V (r) − V (R)
�
1, falls d =2,
=
Vd(�x�)
Vd(r) , falls d>2,
denn limR→∞ Vd(R) =∞, falls d ≤ 2 und =0, falls d>2. ✷
Beweis (von Satz 25.38). Unter Verwendung der starken Markoveigenschaft der
Brown’schen Bewegung erhalten wir für r>0
�
Px lim inf
t→∞ �Wt�
� �
�x�
inf
R>�x� Px
� �
�Wt� ≤s für ein t>τR
inf
R>�x� Px
�
PWτ [τs < ∞]
R � .