Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

208 10 Optional Sampling Sätze
E � � � �
f(|Xτ |) {τ≤n} = E f(|Xτ∧n|) {τ≤n}
≤ E � E � f(|Xn|) � � �
�Fτ∧n {τ≤n}
= E � �
f(|Xn|) {τ≤n} ≤ L.
Also ist E[f(|Xτ |)] ≤ L. Nach Satz 6.19 ist (Xτ ,τ ist endliche Stoppzeit) gleichgradig
integrierbar. ✷
Satz 10.21 (Optional Sampling und gleichgradige Integrierbarkeit).
Ist (Xn, n ∈ N0) ein gleichgradig integrierbares Martingal (beziehungsweise
Supermartingal), und sind σ ≤ τ Stoppzeiten, dann gilt E[|Xτ |] < ∞ und Xσ �
�
=
E[Xτ
�Fσ] (beziehungsweise Xσ ≥ E[Xτ
�Fσ]). Beweis. Sei zunächst X ein Martingal. Für A ∈Fσ ist {σ ≤ n}∩A ∈Fσ∧n, also
nach dem Optional Sampling Theorem (Satz 10.11)
E � � � �
Xτ∧n {σ≤n}∩A = E Xσ∧n {σ≤n}∩A .
Nach Lemma 10.20 ist (Xσ∧n, n ∈ N0) und damit (Xσ∧n {σ≤n}∩A, n ∈ N0)
gleichgradig integrierbar. Analog gilt dies für Xτ . Nach Satz 6.25 gilt daher
E[Xτ A] = lim
n→∞ E�Xτ∧n �
{σ≤n}∩A = lim
n→∞ E�Xσ∧n �
{σ≤n}∩A = E[Xσ A].
�
Es folgt E[Xτ �Fσ] =Xσ.
Sei nun X ein Supermartingal. Dann hat X die Doob-Zerlegung X = M + A,
wobei M ein Martingal ist und A ≤ 0 vorhersagbar und fallend. Wegen
E[|An|] =E[−An] ≤ E[|Xn − X0|] ≤ E[|X0|]+ supE[|Xm|]
< ∞,
m∈N0
gilt An ↓ A∞ für ein A∞ ≤ 0 mit E[−A∞] < ∞. AlsoistA damit auch M =
X − A gleichgradig integrierbar (Satz 6.19). Es folgt
Ferner ist
E[|Xτ |] ≤ E[−Aτ ]+E[|Mτ |] ≤ E[−A∞]+E[|Mτ |] < ∞.
�
E[Xτ �Fσ] =E[Mτ
�
�
�Fσ]+E[Aτ �Fσ]
= Mσ + Aσ + E[(Aτ − Aσ) � �Fσ]
≤ Mσ + Aσ = Xσ. ✷
Korollar 10.22. Ist X ein gleichgradig integrierbares Martingal (beziehungsweise
Supermartingal), und sind τ1 ≤ τ2 ≤ ...endliche Stoppzeiten, so ist (Xτn )n∈N ein
Martingal (beziehungsweise Supermartingal).