Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

512 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Beweis. Da μ ∈M(E) ist, ist μσ-endlich. Sei also En ↑ E mit μ(En) < ∞
für jedes n ∈ N. Setze μ1 = μ(E1 ∩ · ) und μn = μ((En \ En−1) ∩ · )
für n ≥ 2. SindX1,X2,... unabhängige Poisson’sche Punktprozesse mit Intensitätsmaßen
μ1,μ2,...,sohatX = �∞ n=1 Xn das Intensitätsmaß E[X] =μ, also
ist X ein zufälliges Maß (siehe Übung 24.1.1). Außerdem sieht man leicht, dass X
unabhängige Zuwächse hat und
P X(A) = P X1(A) ∗ P X2(A) ∗ ...=Poi μ1(A) ∗ Poi μ2(A) ∗ ...=Poi μ(A).
Also ist X ∼ PPPμ.
Es reicht also, den Fall μ(E) ∈ (0, ∞) zu betrachten, den wir im Folgenden annehmen
wollen. Setze ν = μ( · )/μ(E) ∈M1(E). Seien N,Y1,Y2,... unabhängige
Zufallsvariablen mit N ∼ Poiμ(E) und PYi = ν für jedes i ∈ N. Wirdefinieren
X(A) =
N�
n=1
A(Yn) für A ∈B(E).
Die Zufallsvariablen A(Y1), A(Y2),...sind unabhängig und Ber ν(A)-verteilt, also
ist X(A) ∼ Poi μ(A) (siehe Satz 15.14(iii)). Seien A1,A2,...∈B(E) paarweise
disjunkt und
� �
ψ(t) =E exp i
n�
l=1
tl Al (Y1)
��
=1+
l=1
n�
ν(Al) � e itl
� n
− 1 , t ∈ R ,
die charakteristische Funktion von ( A1 (Y1),..., An (Y1)). Sei ferner ϕ die charakteristische
Funktion von (X(A1),...,X(An)) und ϕl die von X(Al) für l =
1,...,n, also ϕl(tl) =exp(μ(Al)(e itl − 1)). Nach Satz 15.14(iii) ist
� �
ϕ(t) =E exp i
n�
l=1
��
tl X(Al)
=exp � μ(E)(ψ(t) − 1) �
� �n
=exp μ(Al) � e itl
�
− 1 �
=
l=1
n�
ϕl(tl).
Also sind X(A1),...,X(An) unabhängig. Es folgt X ∼ PPPμ. ✷
Übung 24.1.1. Seien X1,X2,... zufällige Maße und λ1,λ2,... ∈ [0, ∞) sowie
X := �∞ n=1 λnXn. Man zeige, dass X genau dann ein zufälliges Maß ist, wenn
P[X(B) < ∞] =1für jedes B ∈Bb(E). Man folgere: Ist X eine Zufallsvariable
mit Werten in � �
M(E), � M(E) � und E[X] ∈M(E), soistXein zufälliges Maß. ♣
Übung 24.1.2. Sei τw die Topologie der schwachen Konvergenz auf M1(E) und
σ(τw) die Borel’sche σ-Algebra auf M1(E). Man zeige: M � � = σ(τw). ♣
M1(E)
l=1