Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞)) 455
für jedes i ∈ I. Aus der Charakterisierung der Kompaktheit von A im Satz von
Arzelà-Ascoli folgen nun (i) und (ii).
” ⇐= “ Wir nehmen jetzt an, dass (i) und (ii) gelten. Seien also für ε>0 und
k, N ∈ N die Zahlen Kε und δN,k,ε so gewählt, dass
�
sup Pi {ω : |ω(0)| >Kε}
i∈I
� ≤ ε
2
und
Setze
CN,ε =
��
sup Pi ω : V
i∈I
N (ω, δN,k,ε) > 1
��
≤ 2
k
−N−k−1 ε.
�
ω : |ω(0)| ≤Kε, V N (ω, δN,k,ε) ≤ 1
k
�
für jedes k ∈ N .
Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist Cε := �
N∈N CN,ε in C([0, ∞)) relativ kompakt,
und wir haben
Pi(C c ε) ≤ ε
2 +
∞�
k,N=1
�� N
Pi ω : V (ω, δN,k,ε) > 1/k �� ≤ ε für jedes i ∈ I.
Es folgt die Aussage. ✷
Korollar 21.41. Sind (Xi, i ∈ I) und (Yi, i ∈ I) Familien von Zufallsvariablen
in C([0, ∞)), und sind (PXi ,i ∈ I) und (PYi ,i ∈ I) straff, dann ist auch
,i∈ I) straff.
(PXi+Yi
Beweis. Wende die Dreiecksungleichung an, um im vorigen Satz (i) und (ii) nachzuweisen.
✷
Ein wichtiges Hilfsmittel, um schwache Relativkompaktheit nachzuweisen, ist das
folgende.
Satz 21.42 (Kolmogorov’sches Kriterium für schwache Relativkompaktheit).
Sei (X i ,i∈ I) eine Folge von stetigen stochastischen Prozessen. Es gelte:
(i) Die Familie (P[Xi 0 ∈ · ], i∈ I) der Startverteilungen ist straff.
(ii) Es gibt Zahlen C, α, β > 0, sodass für alle s, t ∈ [0, ∞) und jedes i ∈ I gilt
E � |X i s − X i t| α� ≤ C |s − t| β+1 .
Dann ist die Familie (P X i,i∈ I) =(L[X i ],i∈ I) von Verteilungen der X i
schwach relativkompakt in M1(C([0, ∞))).