Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Satz 1.12 (Inklusionen zwischen Mengensystemen).
1.1 Mengensysteme 5
(i) Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System, eine Algebra und ein σ-Ring.
(ii) Jeder σ-Ring ist ein Ring, jeder Ring ein Semiring.
(iii) Jede Algebra ist auch ein Ring. Eine Algebra auf einer endlichen Menge Ω ist
auch eine σ-Algebra.
Beweis. (i) Das ist klar.
(ii) Sei A ein Ring. Nach Satz 1.4 ist A schnittstabil und damit ein Semiring.
(iii) Sei A eine Algebra, und seien A, B ∈A.DannistA \ B =(A c ∪ B) c ∈A,
also ist A ein Ring. Ist zudem Ω endlich, so ist A endlich und damit jede abzählbare
Vereinigung in A schon eine endliche Vereinigung. ✷
Definition 1.13 (liminf und limsup). Es seien A1,A2,...Teilmengen von Ω. Dann
heißen
lim inf
n→∞ An
∞� ∞�
∞� ∞�
:= Am und lim sup An := Am
n→∞
n=1 m=n
n=1 m=n
Limes inferior beziehungsweise Limes superior der Folge (An)n∈N.
Bemerkung 1.14. (i) Es gilt
lim inf
n→∞ An = � ω ∈ Ω :#{n ∈ N : ω �∈ An} < ∞ � ,
lim sup An =
n→∞
� ω ∈ Ω :#{n ∈ N : ω ∈ An} = ∞ � .
Der Limes inferior ist also das Ereignis, dass schließlich alle der An eintreten, der
Limes superior hingegen das Ereignis, dass unendlich viele der An eintreten. Insbesondere
ist A∗ := lim infn→∞ An ⊂ A ∗ := lim sup n→∞ An.
(ii) Bezeichnen wir mit
A(x) :=
� 1, falls x ∈ A,
0, falls x �∈ A,
die Indikatorfunktion auf der Menge A,sogilt
A∗
= lim inf
n→∞ An, A∗ = lim sup
n→∞
An.
(1.2)
(iii) Ist A⊂2 Ω eine σ-Algebra und An ∈Afür jedes n ∈ N, soistA∗ ∈Aund
A ∗ ∈A. ✸
Beweis. Übung! ✷