Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

176 8 Bedingte Erwartungen
Bemerkung 8.25. Es reicht, in Definition 8.24 die Eigenschaft (i) nur für Mengen
A2 aus einem schnittstabilen Erzeuger E von A2, derΩ2oder eine Folge En ↑ Ω2
enthält, zu fordern. Es ist nämlich stets
D := � A2 ∈A2 : ω1 ↦→ κ(ω1,A2) ist A1-messbar �
ein Dynkin-System (Übung!). Wegen E⊂Dist (Satz 1.19) D = σ(E) =A2. ✸
Beispiel 8.26. (i) Sind (Ω1, A1) und (Ω2, A2) diskrete Messräume, so liefert jede
Matrix (Kij) i∈Ω1 j∈Ω2 mit nichtnegativen Einträgen und endlichen Zeilensummen
Ki := �
Kij < ∞ für i ∈ Ω1,
j∈Ω2
einen endlichen Übergangskern von Ω1 nach Ω2 vermöge κ(i, A) = �
Kij. Der
Kern ist stochastisch, falls Ki =1für jedes i ∈ N und substochastisch, falls Ki ≤ 1
für jedes i ∈ Ω1.
(ii) Ist μ2 ein endliches Maß auf Ω2, dannistκ(ω1, · ) ≡ μ2 ein endlicher Übergangskern.
(iii) κ(x, · )=Poix ist ein stochastischer Kern von [0, ∞) nach N0 (beachte: für
jedes A ⊂ N0 ist x ↦→ Poix(A) stetig, also insbesondere messbar).
(iv) Sei μ eine Verteilung auf R n und X eine Zufallsvariable mit PX = μ. Dann
definiert κ(x, · )=P[X + x ∈ · ]=δx ∗ μ einen stochastischen Kern von R n nach
R n . In der Tat: Die Mengen (−∞,y], y ∈ R n , bilden einen schnittstabilen Erzeuger
von B(R n ) und x ↦→ κ(x, (−∞,y]) = μ((−∞,y−x]) ist linksstetig, also messbar.
Nach Bemerkung 8.25 ist daher x ↦→ κ(x, A) messbar für jedes A ∈B(R n ). ✸
Definition 8.27. Sei Y eine Zufallsvariable mit Werten in einem Messraum (E,E)
und F⊂Aeine Unter-σ-Algebra. Ein stochastischer Kern κY,F von (Ω,F) nach
(E,E) heißt reguläre Version der bedingten Verteilung von Y gegeben F, falls
κY,F(ω, B) =P[{Y ∈ B}|F](ω) für P-fast alle ω ∈ Ω und für jedes B ∈E.
Sei speziell F = σ(X) für eine Zufallsvariable X (in einem beliebigen Messraum
(E ′ , E ′ )). Dann heißt der stochastische Kern (x, A) ↦→ κY,X(x, A) =P[{Y ∈
A}|X = x] =κ Y,σ(X)(X −1 (x),A) (die Funktion aus dem Faktorisierungslemma
mit beliebiger Festsetzung für x �∈ X(Ω)) eine reguläre Version der bedingten
Verteilung von Y gegeben X.
Satz 8.28 (Reguläre bedingte Verteilungen in R). Ist Y :(Ω,A) → (R, B(R))
reellwertig, dann existiert eine reguläre Version κY,F der bedingten Verteilungen
P[{Y ∈ · }|F].
j∈A