Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

142 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Definition 7.6. Sei G eine konvexe Menge. Eine Abbildung ϕ : G → R heißt konvex,
falls für je zwei Punkte x, y ∈ G und jedes λ ∈ [0, 1] gilt
f heißt konkav, falls −f konvex ist.
ϕ(λx +(1− λ)y) ≤ λϕ(x)+(1− λ)ϕ(y).
Ist I ⊂ R ein Intervall und ϕ : I → R stetig und im Inneren I ◦ zweimal stetig differenzierbar
mit zweiter Ableitung ϕ ′′ ,soistϕ genau dann konvex, wenn ϕ ′′ (x) ≥ 0
ist für alle x ∈ I ◦ . Anders ausgedrückt: Die erste Ableitung ϕ ′ einer konvexen
Funktion ist eine monoton wachsende Funktion. Wir werden im nächsten Satz sehen,
dass dies auch dann noch gilt, wenn ϕ nicht zweimal stetig differenzierbar ist,
wenn wir zur rechtsseitigen Ableitung D + ϕ übergehen (oder zur linksseitigen), von
der wir zeigen, dass sie immer existiert.
Satz 7.7. Sei I ⊂ R ein Intervall mit Innerem I ◦ , sowie ϕ : I → R eine konvexe
Abbildung. Dann gilt:
(i) ϕ ist stetig in I◦ und insbesondere messbar bezüglich B(I).
(ii) Für x ∈ I◦ definiere die Funktion der Differenzenquotienten
ϕ(y) − ϕ(x)
gx(y) := für y ∈ I \{x}.
y − x
Dann ist gx monoton wachsend, und es existieren die links- und rechtsseitigen
Ableitungen
und
D − ϕ(x) := lim
y↑x gx(y) =sup{gx(y) : yx}.
(iii) Für x ∈ I ◦ gilt D − ϕ(x) ≤ D + ϕ(x) und
ϕ(x)+(y − x)t ≤ ϕ(y) für jedes y ∈ I ⇐⇒ t ∈ [D − ϕ(x),D + ϕ(x)].
D−ϕ(x) und D + ϕ(x) sind also die minimale und die maximale Tangentensteigung
in x.
(iv) Die Abbildungen x ↦→ D−ϕ(x) und x ↦→ D + ϕ(x) sind monoton wachsend.
x ↦→ D−ϕ(x) ist linksstetig und x ↦→ D + ϕ(x) ist rechtsstetig. Es gilt
D−ϕ(x) =D + ϕ(x) in allen Stetigkeitspunkten von D−ϕ und D + ϕ.
(v) ϕ ist genau dann in x differenzierbar, wenn D−ϕ(x) =D + ϕ(x) ist. In diesem
Fall ist die Ableitung ϕ ′ (x) =D + ϕ(x).
(vi) ϕ ist fast überall differenzierbar, und es gilt ϕ(b) − ϕ(a) = � b
a D+ ϕ(x) dx für
a, b ∈ I ◦ .