Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

518 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Satz 24.23. Xκ ist ein zufälliges Maß mit PXκ = PPPμκ.
Beweis. Offenbar ist Xκ (A) fast sicher ein Maß. Für A ∈Bb(F ) ist
E[X κ ��
�
(A)] = E ˜X(d(x, t)) κ(x, A) =(μκ)(A) < ∞
nach Voraussetzung, also ist X κ (A) < ∞ fast sicher, und damit ist X κ ein
zufälliges Maß. Wir berechnen die Laplace-Transformierte von X κ .Seig(x) :=
− log E[e−f(Yx,t) ]. Dann ist (weil ˜ X doppelpunktfrei ist)
� � �
��
LXκ(f) =E exp − ˜X(d(x, t)) f(Yx,t)
⎡
= E ⎣
�
e −f(Yx,t)
⎤ ⎡
⎦ = E ⎣
�
⎡
= E ⎣
(x,t): ˜ X({(x,t)})=1
�
(x,t): ˜ X({(x,t)})=1
⎤
e −g(x) ⎦ = LX(g)
(x,t): ˜ X({(x,t)})=1
E[e −f(Yx,t) ⎤
] ⎦
��
=exp μ(dx) � E[e −f(Yx,t) ] − 1 ��
��
=exp
�
μ(dx) κ(x, dy) � e −f(y) − 1 ��
��
=exp μκ(dy) � e −f(y) − 1 ��
. ✷
Beispiel 24.24 (PPP als invariante Verteilung). Als Anwendung des letzten Satzes
betrachten wir einen stochastischen Prozess auf E = Zd oder E = Rd ,deraus
unabhängigen Irrfahrten besteht. Wir nehmen also an, dass wir u.i.v. Zufallsvariablen
Zi n, i, n ∈ N mit Verteilung ν ∈ E haben. Wir nehmen zudem an, dass das i-te
Teilchen unseres Irrfahrtenprozesses zur Zeit n die Position Si n := Si 0 + �n l=1 Zi l
hat, wobei Si 0 ein willkürlicher, eventuell zufälliger, Startpunkt ist. Wenn wir die
Teilchen als ununterscheidbar annehmen, reicht es, die Teilchen an jedem Ort zusammenzuzählen.
Wir betrachten also
∞�
Xn(A) := A(S i n) für A ⊂ E.
i=1
Jedes Xn ist ein Maß auf E und, wenn wir die Teilchen anfangs nicht zu sehr konzentrieren,
lokal endlich, also ein zufälliges Maß. Nehmen wir an, dass X0 ∼ PPPμ
für ein μ ∈M(E) ist. Wir setzen κ(x, · )=δx ∗ν und schreiben κn für die n-fache
Anwendung von κ, also κn (x, · )=δx ∗ ν∗n . Wir erhalten so Xκ D
0 = X1. Inder
Tat: Das unabhängige Bewegen der einzelnen Teilchen in der Definition von X κ 0